2005-广东卷-03 单-函数极限的性质与计算

本题导读

本题主要考查代数分式函数在定点处的极限计算。由于直接代入 $x=-3$ 会使分子和分母同时为 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要通过对分母进行平方差公式因式分解，约去导致零因子的公因式 $(x+3)$，然后再代入求值。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 3. ${\lim }_{x\to -3}\frac{x+3}{x^2-9}=$ ()

A. $-\frac{1}{6}$　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 形式判定：若直接将 $x=-3$ 代入，分子为 $-3+3=0$，分母为 $(-3{)}^2-9=0$，属于经典的 $\frac{0}{0}$ 型不定式极限。
2. 因式分解化简：分母 $x^2-9$ 可利用平方差公式展开为 $(x-3)(x+3)$。
3. 消除零因子并代入：由于 $x\to -3$ 意味着 $x\ne -3$，因此分子分母可以同时约去公因式 $(x+3)$。化简后再将 $x=-3$ 代入剩余的多项式分式中求出极限值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：对分母进行因式分解 利用平方差公式将分母进行展开： $x^2-9=(x-3)(x+3)$ 原极限式可变形为： ${\lim }_{x\to -3}\frac{x+3}{x^2-9}={\lim }_{x\to -3}\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$

• 第二步：约去零因子并求极限值 $\in x\to -3$ 时， $x$ 无限趋近于 $-3$ 但 $x\ne -3$， $\therefore x+3\ne 0$ 分子与分母同时约去公因式 $(x+3)$ 得： ${\lim }_{x\to -3}\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}={\lim }_{x\to -3}\frac{1}{x-3}$

直接将 $x=-3$ 代入化简后的连续函数中： ${\lim }_{x\to -3}\frac{1}{x-3}=\frac{1}{-3-3}=\frac{1}{-6}=-\frac{1}{6}$

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： $\frac{0}{0}$ 不定式中零因子消去律、平方差公式变形。
2. 核心方法：因式分解法。
3. 避坑指南：

• 切勿直接盲目代入或漏掉分母的负号。部分同学在最后一步代入 $x=-3$ 算分母时，由于粗心把 $-3-3$ 误算成了 $-3+3=0$ 或者 $3-3=0$ 从而无法得出答案；也有人容易算成 $\frac{1}{6}$ 从而错选 C。代入负数时注意运算符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 3 题，属于微积分模块中考查极限运算最基础、最常规的题型。
2. 结论推广：对于任何形如 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{x^2-x_0^2}$ 形式的 $\frac{0}{0}$ 型极限，通过平方差约分后均可化为 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{1}{x+x_0}=\frac{1}{2x_0}$。本题中 $x_0=-3$，代入推广公式直接可得 $\frac{1}{2\times (-3)}=-\frac{1}{6}$。

🔗【关联脉络】

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• 19.07 一般数列的性质

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