2005-山东卷理-19 解-导数在研究函数极值中的应用

本题导读

本题考查导数判定单调区间与极值、开口向下的二次函数在闭区间上的最值分布。核心在于端点最值控制法。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知 $x=1$ 是函数 $f(x)=m{x}^3-3(m+1)x^2+nx+1$ 的一个极值点，其中 $m,n\in \mathbb{R}$，$m<0$.

(1)求 $m$ 与 $n$ 的关系式；

(2)求 $f(x)$ 的单调区间；

(3)当 $x\in [-1,1]$ 时，函数 $y=f(x)$ 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 $3m$，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求导得到 $f^{\prime }(x)$，利用极值点处导数为 0（即 $f^{\prime }(1)=0$）建立 $m$ 与 $n$ 的因式方程。
2. 第二问：将 $n$ 用 $m$ 表示后代回 $f^{\prime }(x)$ 并进行因式分解，结合 $m<0$ 判定导数的零点大小，从而确定单调区间。
3. 第三问：切线斜率即为导函数 $f^{\prime }(x)$。依题意有 $f^{\prime }(x)>3m$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立。由于开口向下，最值必在端点处取得，利用端点效应列不等式组求解。

✅【答案】

Success

$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty ,1+\frac{2}{m}\right)$ 和 $(1,+\infty )$；单调递增区间为 $\left(1+\frac{2}{m},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3m{x}^2-6(m+1)x+n$

因为 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极值点，所以 $f^{\prime }(1)=0$，即： $3m\times 1^2-6(m+1)\times 1+n=0$ $3m-6m-6+n=0⟹n=3m+6$

（2）将 $n=3m+6$ 代入 $f^{\prime }(x)$ 得： $f^{\prime }(x)=3m{x}^2-6(m+1)x+3m+6=3[m{x}^2-2(m+1)x+m+2]$ $=3(x-1)(mx-m-2)$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两根为 $x_1=1$ 或 $x_2=\frac{m+2}{m}=1+\frac{2}{m}$。 因为 $m<0$，所以 $\frac{2}{m}<0$，从而 $x_2<1$。 由于二次项系数 $3m<0$，导函数图象开口向下：

• 当 $x\in \left(-\infty ,1+\frac{2}{m}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(1+\frac{2}{m},1\right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

综上所述，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty ,1+\frac{2}{m}\right)$ 和 $(1,+\infty )$；单调递增区间为 $\left(1+\frac{2}{m},1\right)$。

（3）由题意，当 $x\in [-1,1]$ 时，恒有 $f^{\prime }(x)>3m$，即： $3m{x}^2-6(m+1)x+3m+6>3m⟹3m{x}^2-6(m+1)x+6>0$ 两边同除以 3 得： $m{x}^2-2(m+1)x+2>0$

设 $g(x)=m{x}^2-2(m+1)x+2$，因 $m<0$，二次函数 $g(x)$ 的图象开口向下。 要使 $g(x)>0$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，只需区间两端点处的函数值均大于 0： $\{\begin{array}{l}g(-1)>0\\ g(1)>0\end{array}$

代入计算得： $\{\begin{array}{l}m(-1{)}^2-2(m+1)(-1)+2>0\\ m(1{)}^2-2(m+1)(1)+2>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3m+4>0\\ -m>0\end{array}$

解得 $-\frac{4}{3}<m<0$。 所以 $m$ 的取值范围是 $\left(-\frac{4}{3},0\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数判定单调区间与极值、开口向下的二次函数在闭区间上的最值分布。
2. 核心方法：端点最值控制法。
3. 避坑指南：第三问中，由于 $m<0$ 明确了抛物线开口向下，其在闭区间上的最小值必然在端点 $x=-1$ 或 $x=1$ 处取得，无需讨论对称轴的位置，直接约束两端点严格大于 0 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的导数与二次函数综合解答题，侧重考查导数的因式分解与闭区间上参数的恒成立控制。
2. 结论推广：对于开口向下的二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a<0$)，在闭区间 $[k,m]$ 上恒有 $f(x)>0⟺f(k)>0$ 且 $f(m)>0$。

🔗【关联脉络】

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• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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