2005-山东卷理-15 填-简单的线性规划问题

本题导读

本题考查线性规划中可行域的绘制以及目标函数在顶点处取得最大值的最优解坐标判定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 设 $x、y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 5\\ 3x+2y\le 12\\ 0\le x\le 3\\ 0\le y\le 4\end{array}$，则使得目标函数 $z=6x+5y$ 的最大的点 $(x,y)$ 是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的封闭平面区域（可行域）。
2. 将目标函数变形为斜截式 $y=-\frac{6}{5}x+\frac{z}{5}$，分析其几何意义为斜率为 $-\frac{6}{5}$、纵截距为 $\frac{z}{5}$ 的平行直线系。
3. 通过平移直线找到使纵截距最大的可行域顶点，联立方程组求出该顶点的坐标。

✅【答案】

Success

$(2,3)$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先绘制出满足约束条件的可行域各边界线的交点：

• 由 $x=3$ 与 $3x+2y=12$ 联立，解得交点 $A\left(3,\frac{3}{2}\right)$；

• 由 $x+y=5$ 与 $3x+2y=12$ 联立，解得交点 $B(2,3)$；

• 由 $y=4$ 与 $x+y=5$ 联立，解得交点 $C(1,4)$；

• 结合 $0\le x\le 3,0\le y\le 4$，可行域是一个多边形区域，其右上方边缘的凸顶点分别为 $A\left(3,\frac{3}{2}\right)$，$B(2,3)$，$C(1,4)$。

将目标函数 $z=6x+5y$ 变形为： $y=-\frac{6}{5}x+\frac{z}{5}$ 由于截距 $\frac{z}{5}$ 随 $z$ 的增大而增大，我们需要将斜率为 $-\frac{6}{5}=-1.2$ 的直线从原点向右上方平移。

比较各边界线的斜率：

• 直线 $x+y=5$ 的斜率为 $-1$；
• 直线 $3x+2y=12$ 的斜率为 $-\frac{3}{2}=-1.5$。

因为 $-1.5<-1.2<-1$，说明目标函数直线的倾斜程度介于这两条边界线之间。 当直线由内向外平移时，最后一个离开可行域的顶点必然是这两条边界线的交点 $B(2,3)$。

或者，我们直接将三个可能取得最大值的顶点坐标代入目标函数 $z=6x+5y$ 进行定量检验：

• 代入 $A\left(3,\frac{3}{2}\right)$ 得：$z=6\times 3+5\times \frac{3}{2}=18+7.5=25.5$；
• 代入 $B(2,3)$ 得：$z=6\times 2+5\times 3=12+15=27$；
• 代入 $C(1,4)$ 得：$z=6\times 1+5\times 4=6+20=26$。

对比可知，当 $x=2,y=3$ 时，目标函数 $z$ 取得最大值 $27$。 题目要求填使得目标函数最大的点 $(x,y)$，即为 $(2,3)$。

答案：$(2,3)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域顶点的求解、目标函数几何意义的平移判定。
2. 核心方法：图解平移法、顶点代入法。
3. 避坑指南：

• 审题陷阱：务必看清题目问的是“最大的点 $(x,y)$”还是“目标函数的最大值”。本题要求填写的是坐标点，若错填为最大值 $27$ 则不得分。
• 斜率比较：在画图不够精确时，通过比较目标函数斜率与边界线斜率的大小关系，能百分之百准确锁定最优解所在的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于“线性规划的实际应用与最优解”的经典基础题模型。
2. 结论推广：若目标函数 $z=ax+by$ ($b>0$) 在凸多边形可行域上求最大值，且其斜率 $-\frac{a}{b}$ 介于相邻两边界墙直线的斜率之间，则最优解必然在两条边界墙直线的交点顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)