2005-山东卷理-13 填-组合数的性质与计算

本题导读

本题考查组合数的对称性质与大整数趋向无穷时有理分式的极限计算。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{C_n^2+2C_n^{n-2}}{(n+1{)}^2}=$\underline{\quad\quad\quad}$.$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用组合数的对称性质 $C_n^m=C_n^{n-m}$，将分子中的 $C_n^{n-2}$ 转化为 $C_n^2$ 并合并同类项。
2. 展开组合数公式并将分子化为关于 $n$ 的二次多项式。
3. 利用无穷大有理分式极限的规律（最高次项系数之比）求值。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据组合数的对称性质 $C_n^m=C_n^{n-m}$，可得： $C_n^{n-2}=C_n^{n-(n-2)}=C_n^2$

将其代入原式分子中，合并同类项得： $C_n^2+2C_n^{n-2}=C_n^2+2C_n^2=3C_n^2$

展开组合数计算公式： $3C_n^2=3\times \frac{n(n-1)}{2}=\frac{3}{2}(n^2-n)$

代入原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{3}{2}(n^2-n)}{(n+1{)}^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{3}{2}{n}^2-\frac{3}{2}n}{n^2+2n+1}$

当 $n\to \infty$ 时，分子与分母均为关于 $n$ 的二次多项式，其极限值等于二次项系数之比： $\text{原式}=\frac{\frac{3}{2}}{1}=\frac{3}{2}$

答案：$\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数对称公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$、数列有理分式极限。
2. 核心方法：最高次系数提取法。
3. 避坑指南：优先运用对称性合并同类项可简化运算，避免直接强行展开 $C_n^{n-2}$ 导致繁琐的阶乘约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中排列组合基础计算与极限初步两章内容的交汇。
2. 结论推广：当 $n\to \infty$ 时，关于 $C_n^2$ 的线性组合与二次多项式比值的极限，均可转化为最高次项的系数定比问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)