2005-山东卷理-12 单-直线关于点的对称直线方程

本题导读

本题考查中心对称图形的性质、直线与圆锥曲线的交点，以及椭圆上动点到特定直线距离的分布特征，考查数形结合与临界边界的判定方法。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 设直线 $l:2x+y+2=0$ 关于原点对称的直线为 $l^{\prime }$，若 $l^{\prime }$ 与椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ 的交点为 $A、B$，点 $P$ 为椭圆上的动点，则使 $△PAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ 的点 $P$ 的个数为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据关于原点对称的代数特征（$x\to -x,y\to -y$）求出直线 $l^{\prime }$ 的方程。
2. 联立直线 $l^{\prime }$ 与椭圆方程，计算弦长 $|AB|$。
3. 利用三角形面积公式 $S_{△PAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot h=\frac{1}{2}$，求出点 $P$ 到直线 $l^{\prime }$ 的目标距离 $h$。
4. 计算椭圆上距离直线 $l^{\prime }$ 最远和最近的临界切线距离，对比目标距离 $h$，判定符合条件的动点 $P$ 的个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：由直线 $l:2x+y+2=0$ 关于原点对称，只需将 $x,y$ 换为 $-x,-y$， 得到直线 $l^{\prime }$ 的方程为：$-2x-y+2=0⟹2x+y-2=0$。

将直线 $l^{\prime }$ 与椭圆方程联立： $\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array}$ 将第一式代入第二式： $x^2+\frac{(-2x+2{)}^2}{4}=1⟹x^2+(x-1{)}^2=1$ $2x^2-2x=0⟹x(x-1)=0$ 解得两交点的横坐标分别为 $x_1=0,x_2=1$。 对应的纵坐标为 $y_1=2,y_2=0$，即 $A(0,2),B(1,0)$。

计算底边弦长 $|AB|$： $|AB|=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

设椭圆上动点 $P$ 到直线 $l^{\prime }$ 的距离为 $h$。因为 $△PAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$，则： $S_{△PAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot h=\frac{1}{2}\sqrt{5}h=\frac{1}{2}⟹h=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

设与 $l^{\prime }$ 平行且与椭圆相切的切线为 $2x+y+m=0$。 联立椭圆方程： $x^2+\frac{(-2x-m{)}^2}{4}=1⟹4x^2+4x^2+4mx+m^2=4⟹8x^2+4mx+m^2-4=0$ 令 $\Delta =0$： $\Delta =(4m{)}^2-4\times 8\times (m^2-4)=16m^2-32m^2+128=-16m^2+128=0⟹m=\pm 2\sqrt{2}$

因此，椭圆上各点到直线 $l^{\prime }:2x+y-2=0$ 的最大距离和最小距离由切线与 $l^{\prime }$ 的平行距离决定：

• 靠外侧的最大距离 $h_{\max }=\frac{|2\sqrt{2}-(-2)|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$
• 靠内侧（过原点另一侧）的临界切线距离 $h_0=\frac{|-2\sqrt{2}-(-2)|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{5}}$

比较目标距离 $h=\frac{1}{\sqrt{5}}$ 与内侧最靠近的切线距离 $h_0$： 因为 $2\sqrt{2}-2\approx 2\times 1.414-2=0.828<1$， 所以有 $h_0<h<h_{\max }$。

根据平行线分布规律：

1. 在直线 $l^{\prime }$ 的外侧（远离原点的一侧），由于 $h<h_{\max }$，必然存在两条平行线与其距离为 $h$，与椭圆产生 2 个交点。
2. 在直线 $l^{\prime }$ 的内侧（靠近原点的一侧），由于目标距离 $h>h_0$（超过了内侧切线的最大包裹范围），此时在内侧与 $l^{\prime }$ 距离为 $h$ 的平行线已完全脱离椭圆，与椭圆交点个数为 0。

综上所述，满足条件的点 $P$ 仅在 $l^{\prime }$ 的外侧分布，共有 2 个。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对称直线方程、弦长公式、动点到直线的距离临界值（切线分析）。
2. 核心方法：数形结合法、平行线边界控制法。
3. 避坑指南：

• 极易盲目得出 4 个点的错误结论。若目标距离 $h$ 很小（满足 $h<h_0$），则直线 $l^{\prime }$ 的两侧均能各贡献 2 个点，总计 4 个点；但本题中由于 $h>h_0$，导致内侧无解，必须进行精确的数值大小比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中关于“圆锥曲线外一点（或一弦）对应最大、最小面积三角形”的临界位置判定，是考查综合数形构造能力的压轴选择题。
2. 结论推广：对于标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与已知截线 $Ax+By+C=0$，其平行切线系常数为 $\pm \sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2}$。利用该公式可直接心算确定临界距离界限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)