2005-山东卷理-10 单-集合的包含关系与补并运算

本题导读

本题考查集合的补集与并集运算、集合间的包含关系，以及充分必要条件的逻辑判定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 设集合 $A、B$ 是全集 $U$ 的两个子集，则 $A⫋B$ 是 $({\complement }_{U}A)\cup B=U$ 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也 crab 必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将集合运算条件 $({\complement }_{U}A)\cup B=U$ 等价转化为集合的包含关系 $A\subseteq B$。
2. 对比真包含关系 $A⫋B$ 与包含关系 $A\subseteq B$ 之间的逻辑蕴含方向，判定充分性与必要性。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据集合的运算性质，$({\complement }_{U}A)\cup B=U$ 意味着全集 $U$ 中属于 $A$ 且不属于 $B$ 的元素不存在，即 $A$ 中的元素全部属于 $B$。 因此， $({\complement }_{U}A)\cup B=U⟺A\subseteq B$。

接下来判定两条件的逻辑关系： ① 充分性：若 $A⫋B$（$A$ 是 $B$ 的真子集），则必然有 $A\subseteq B$ 成立，即充分性成立。 ② 必要性：若 $({\complement }_{U}A)\cup B=U$，则有 $A\subseteq B$。此时 $A$ 与 $B$ 可以相等（即 $A=B$），不一定会满足真包含关系 $A⫋B$。 例如：当 $A=B=U$ 时，$({\complement }_{U}U)\cup U=\varnothing \cup U=U$ 成立，但 $U⫋U$ 不成立，即必要性不成立。

综上所述，$A⫋B$ 是 $({\complement }_{U}A)\cup B=U$ 的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：子集与真子集的代数区别、集合运算的等价转化。
2. 核心方法：等价转化法、反例控制法。
3. 避坑指南：必须精确区分 $⫋$（真子集）与 $\subseteq$（子集）的几何差异。必要性不成立的关键在于忽略了 $A=B$ 这种两集合相等的边界情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中集合基本运算与常用逻辑用语两章内容的交汇，重点考查对概念细节定义的严密性。
2. 结论推广：集合中关于 $A\subseteq B$ 的常见等价代数形式有： $({\complement }_{U}A)\cup B=U⟺A\cap B=A⟺A\cup B=B⟺A\cap ({\complement }_{U}B)=\varnothing$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)