2005-山东卷理-07 单-向量的线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性加减运算以及三点共线的向量判定方法。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$, 且 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}+2\vec{b}$, $\overrightarrow{BC}=-5\vec{a}+6\vec{b}$, $\overrightarrow{CD}=7\vec{a}-2\vec{b}$, 则一定共线的三点是()

A. $A、B、D$　　　B. $A、B、C$　　　C. $B、C、D$　　　D. $A、C、D$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用向量的三角形加法法则计算出各选项点组合对应的向量，如 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$。
2. 检查所构成的两向量之间是否存在实数倍数关系（即 $\vec{u}=\lambda \vec{v}$），若存在且共有点，则对应的三点一定共线。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：根据向量的加法法则，计算出 $\overrightarrow{BD}$ 的基底表示： 已知： $\overrightarrow{AB}=\vec{a}+2\vec{b}$

计算 $\overrightarrow{BD}$： $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(-5\vec{a}+6\vec{b})+(7\vec{a}-2\vec{b})=2\vec{a}+4\vec{b}$

观察可得： $\overrightarrow{BD}=2(\vec{a}+2\vec{b})=2\overrightarrow{AB}$

因为 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}$，所以向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 共线。 又因为两向量有公共点 $B$，所以 $A、B、D$ 三点一定共线。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量共线的充要条件（$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}=\lambda \vec{b}$）。
2. 核心方法：向量多边形加法法则、系数比例法。
3. 避坑指南：计算多项向量和时注意各项对应基底 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的正负号，确保合并同类项准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中平面向量基本定理与共线向量线性表示的基础习题，考查用代数式表达几何位置关系。
2. 结论推广：若已知一组向量链 $\overrightarrow{P_1{P}_2},\overrightarrow{P_2{P}_3},\cdots ,\overrightarrow{P_{n-1}{P}_n}$ 的基底表示，寻找共线点组的通用方法是任意组合两点间的向量，通过验证系数是否成比例来锁定答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)