2005-山东卷理-04 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查基本初等函数的奇偶性辨析与闭区间上的单调性判定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 下列函数既是奇函数，又在区间 $[-1,1]$ 上单调递减的是()

A. $f(x)=\sin x$　　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=-|x+1|$

C. $f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x})$　　　　　　　　　D. $f(x)=\ln \frac{2-x}{2+x}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐一验证各选项函数的奇偶性，排除非奇函数（B为非奇非偶函数，C为偶函数）。
2. 对剩余的奇函数（A和D）在区间 $[-1,1]$ 上的单调性进行判定，找出单调递减的选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

(A) $f(x)=\sin x$：因为 $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$，所以为奇函数；但在 $[-1,1]\subset \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上， $f(x)=\sin x$ 单调递增，不符合题意。

(B) $f(x)=-|x+1|$：定义域为 $\mathbb{R}$，而 $f(-x)=-|-x+1|=-|1-x|$，既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$，为非奇非偶函数，不符合题意。

(C) $f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x})$：定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(-x)=\frac{1}{2}(a^{-x}+a^x)=f(x)$，为偶函数，不符合题意。

(D) $f(x)=\ln \frac{2-x}{2+x}$：

• 奇偶性：由 $\frac{2-x}{2+x}>0$ 解得定义域为 $(-2,2)$，关于原点对称。 $f(-x)=\ln \frac{2-(-x)}{2+(-x)}=\ln \frac{2+x}{2-x}=\ln {\left(\frac{2-x}{2+x}\right)}^{-1}=-\ln \frac{2-x}{2+x}=-f(x)$ 故 $f(x)$ 为奇函数。
• 单调性：内层函数 $u(x)=\frac{2-x}{2+x}=\frac{4}{2+x}-1$，在区间 $[-1,1]$ 上随 $x$ 的增大而减小，即内层函数单调递减；外层函数 $y=\ln u$ 在其定义域上单调递增。根据复合函数“同增异减”原则， $f(x)=\ln u(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，符合题意。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的定义与代数判定、复合函数的单调性（同增异减原则）。
2. 核心方法：逐项排除法、复合函数分解法。
3. 避坑指南：

• 判定奇偶性时需优先检验定义域是否关于原点对称。
• 分析 D 选项的单调性时，注意分式内层函数 $u(x)=\frac{2-x}{2+x}$ 随着 $x$ 增大，分子减小且分母增大，整体必然减小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由基本初等函数的性质组合而成的经典概念辨析题，重点考查对函数性质核心概念的理解。
2. 结论推广：函数 $f(x)=\ln \frac{k-x}{k+x}$ （$k>0$）在其定义域 $(-k,k)$ 上恒为奇函数且严格单调递减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

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