2005-山东卷文-18 解-摸球与不放回概率

本题导读

本题考查古典概型与不放回抽取的概率计算。核心在于由组合方程确定球的构成，再按首次取到的时刻分类累加。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 $\frac{1}{7}$．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．

(1) 求袋中原有的白球的个数；

(2) 求取球 2 次终止的概率；

(3) 求甲取到白球的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{{\mathrm{C}}_w^2}{{\mathrm{C}}_7^2}=\frac{1}{7}$ 解出白球数 $w$。
2. (2) 先黑后白：$\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}$。
3. (3) 甲在第 1、3、5 次取球分三类累加；第 7 次不可能。

✅【答案】

Success

（1）设白球有w个，则C2wC\dfrac{2}{7}

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设白球有 $w$ 个，则 $\frac{{\mathrm{C}}_w^2}{{\mathrm{C}}_7^2}=\frac{1}{7}$，即 $\frac{w(w-1)}{42}=\frac{1}{7}$，所以 $w(w-1)=6$，由 $0⩽w⩽7$ 得 $w=3$，黑球有 4 个． (2) 取球两次终止，必须第一次取到黑球、第二次取到白球，所以概率为 $\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$． (3) 甲在第 1，3，5，7 次取球．白球在第 1 次被甲取到的概率为 $\frac{3}{7}$；在第 3 次被甲取到（前两次均为黑球）的概率为 $\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{35}$；在第 5 次被甲取到（前四次均为黑球，此时黑球已尽）的概率为 $\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times 1=\frac{1}{35}$．第 7 次不可能才首次取到白球，因为前六次全黑需要 6 个黑球而袋中只有 4 个．因此甲取到白球的概率为 $\frac{3}{7}+\frac{6}{35}+\frac{1}{35}=\frac{22}{35}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：摸球与不放回概率

核心方法：$\frac{{\mathrm{C}}_w^2}{{\mathrm{C}}_7^2}=\frac{1}{7}$ 定白球 $w=3$，再按终止次数分类

避坑指南：不放回抽取各次概率分母递减；甲取到白球按第 1、3、5 次分类——第 7 次需 6 个黑球而只有 4 个，不可能

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 概率

结论推广：$\frac{{\mathrm{C}}_w^2}{{\mathrm{C}}_7^2}=\frac{1}{7}\Rightarrow w=3$；不放回各次概率 $\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdots$；甲得白球 $P=\frac{3}{7}+\frac{6}{35}+\frac{1}{35}=\frac{22}{35}$

方法推广：摸球问题先由组合方程定构成，再按”何时首次取到”分类，注意不放回使分母递减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-18 解-独立性检验
• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2016-全国卷II文-18 解-均值不等式