2005-山东卷文-12 单-椭圆与对称直线

本题导读

本题考查直线关于原点的对称变换，以及平行直线截椭圆的交点个数讨论。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 设直线 $l:2x+y+2=0$ 关于原点对称的直线为 $l^{\prime }$，若 $l^{\prime }$ 与椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ 的交点为 $A$、$B$，点 $P$ 为椭圆上的动点，则使 $△PAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ 的点 $P$ 的个数为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对称得 $l^{\prime }:2x+y-2=0$，交椭圆于 $(1,0)$、$(0,2)$，$|AB|=\sqrt{5}$。
2. 面积 $\frac{1}{2}\Rightarrow$ 点 $P$ 到 $l^{\prime }$ 距离 $\frac{1}{\sqrt{5}}$，即 $2x+y=1$ 或 $2x+y=3$。
3. 逐条用判别式检验交点数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

关于原点对称后，$l^{\prime }$ 的方程为 $2x+y-2=0$．将椭圆参数化为 $x=\cos t$，$y=2\sin t$，代入 $l^{\prime }$ 得 $\cos t+\sin t=1$，所以两个交点为 $(1,0)$ 和 $(0,2)$，从而 $|AB|=\sqrt{5}$．若点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $h$，则 $△PAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}\sqrt{5}h$．由面积为 $\frac{1}{2}$ 得 $h=\frac{1}{\sqrt{5}}$，于是 $\frac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，即点 $P$ 在直线 $2x+y=1$ 或 $2x+y=3$ 上． 对于直线 $2x+y=c$，代入椭圆得 $8x^2-4cx+c^2-4=0$，其判别式为 $16(8-c^2)$．当 $c=1$ 时判别式为 $112>0$，有两个交点；当 $c=3$ 时判别式为 $16(8-9)<0$，没有交点．所以满足条件的点 $P$ 有 2 个，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与对称直线

核心方法：对称得 $l^{\prime }:2x+y-2=0$，平行线 $2x+y=c$ 判别式定交点

避坑指南：$|AB|=\sqrt{5}$ 先求出；$c=3$ 时判别式 $8-c^2<0$ 无交点——面积条件给的是两条平行线，逐条检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 椭圆与直线

结论推广：$l^{\prime }:2x+y-2=0$ 交椭圆于 $(1,0)$、$(0,2)$，$|AB|=\sqrt{5}$；平行线 $2x+y=1$ 截椭圆两点

方法推广：面积定距型问题转化为”平行线截曲线交点个数”，用判别式逐一检验

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