2005-山东卷文-09 单-球面距离

本题导读

本题考查球面上两点间球面距离的计算，以及经纬度与地心角的转化。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 设地球的半径为 $R$，若甲地位于北纬 $45^{\circ }$ 东经 $120^{\circ }$，乙地位于南纬 $75^{\circ }$ 东经 $120^{\circ }$，则甲、乙两地的球面距离为()

A. $\sqrt{3}R$　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}R$　　　　　　C. $\frac{5\pi }{6}R$　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}R$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同经线 $\Rightarrow$ 两点在同一条大圆上。
2. 地心角 $=45^{\circ }+75^{\circ }=120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$。
3. 弧长 $=R\cdot \frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

甲、乙两地经度相同，所以它们在同一条经线上，即在同一大圆上．甲地纬度为 $45^{\circ }$，乙地纬度为 $-75^{\circ }$，两地对应的地心角为 $45^{\circ }-(-75^{\circ })=120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$．因此球面距离为 $R\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}R$，选 D． 注：选项 B 原卷印 $\frac{\pi }{6}R$，答案册误转为 $\frac{5}{6}R$，此处按原卷录入（不影响答案选择）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离

核心方法：同经线即大圆，地心角 $=45^{\circ }+75^{\circ }=120^{\circ }$

避坑指南：两纬度一北一南要相加；球面距离是弧长 $R\theta$（弧度制），别乘成弦长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 球的几何性质

结论推广：同经线两点在同一大圆上，地心角 $=$ 纬度差 $=120^{\circ }$，球面距离 $=\frac{2\pi }{3}R$

方法推广：球面距离三步：确认大圆、求地心角（纬度差/经度差公式）、弧长 $R\theta$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面
• 2010-四川卷文-12 单-球面距离