2005-山东卷文-07 单-分段函数方程

本题导读

本题考查分段函数的求值与方程求解，以及定义域对根的筛选。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin \left(\pi x^2\right),& -1<x<0,\\ e^{x-1},& x⩾0.\end{array}$ 若 $f(1)+f(a)=2$，则 $a$ 的所有可能值为()

A. $1$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　C. $1$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $1$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(1)=e^0=1$，故 $f(a)=1$。
2. $a⩾0$ 段：$e^{a-1}=1$ 得 $a=1$。
3. $-1<a<0$ 段：$\sin \left(\pi a^2\right)=1$ 得 $a^2=\frac{1}{2}$，取负根。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(1)=e^0=1$，得 $f(a)=1$．当 $a⩾0$ 时，$e^{a-1}=1$，所以 $a=1$．当 $-1<a<0$ 时，$0<a^2<1$，所以 $0<\pi a^2<\pi$，方程 $\sin \left(\pi a^2\right)=1$ 只有解 $\pi a^2=\frac{\pi }{2}$，从而 $a^2=\frac{1}{2}$，结合 $a<0$ 得 $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$．因此 $a$ 的所有可能值为 $1$ 和 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数方程

核心方法：$f(1)=1$ 反解 $f(a)=1$ 分两段

避坑指南：$\sin (\pi a^2)=1$ 在 $-1<a<0$ 内只有 $a^2=\frac{1}{2}$ 一解（取负）；$a⩾0$ 段指数方程别漏 $a=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 分段函数

结论推广：$f(1)=e^0=1$；$\sin (\pi a^2)=1$ 于 $(-1,0)$ 得 $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；$e^{a-1}=1$ 得 $a=1$

方法推广：分段函数方程必须逐段求解再合并，每段内还要用该段定义域筛选根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-04 单-对数模型
• 2018-全国卷I理-09 单-分段函数
• 2018-全国卷I文-12 单-分段函数