2005-山东卷文-02 单-指数对数大小比较

本题导读

本题考查指数式与对数式的大小比较，以及媒介值分档的运用。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 下列大小关系正确的是()

A. $0.4^3<3^{0.4}<{\log }_{4}0.3$　　　　　　　　　　　　B. $0.4^3<{\log }_{4}0.3<3^{0.4}$

C. ${\log }_{4}0.3<0.4^3<3^{0.4}$　　　　　　　　　　　　D. ${\log }_{4}0.3<3^{0.4}<0.4^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\log }_{4}0.3<0$（底 $4>1$，真数 $0.3<1$）。
2. $0<0.4^3<1$。
3. $3^{0.4}>1$。三档落位。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<0.4<1$，所以 $0<0.4^3<1$；又 $3>1$，所以 $3^{0.4}>1$．由于对数的底数 $4>1$，而 $0<0.3<1$，故 ${\log }_{4}0.3<0$．因此 ${\log }_{4}0.3<0.4^3<3^{0.4}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数对数大小比较

核心方法：以 $0$ 和 $1$ 为媒介分档

避坑指南：${\log }_{4}0.3<0$、$0<0.4^3<1$、$3^{0.4}>1$ 三档落位；别把 $0.4^3$ 当成 $(0.43)$ 或 $0.4\times 3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 指数函数与对数函数

结论推广：${\log }_{4}0.3<0$（真数小于 1 底大于 1）、$0<0.4^3<1$、$3^{0.4}>1$ 三档

方法推广：多个幂指对数比大小：先按与 $0$、$1$ 的大小分档，同档内再取媒介值或换底

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-02 单-对数函数的运算性质
• 2010-大纲卷II理-02 单-对数
• 2020-新课标III文-10 单-比较大小