2005-天津卷理-18 解-等比数列的通项公式与求和

本题导读

本题核心考查等比数列通项与求和公式的综合应用以及数列极限。解题关键是识别出 $u_n$ 本身是一个等比数列的和，并根据 $a$ 与 $b$ 的大小关系进行分类讨论，从而正确求出项和与极限值。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 已知 $u_n=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$, $a>0$, $b>0$).

(1)当 $a=b$ 时，求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；

(2)求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：将 $a=b$ 直接代入 $u_n$ 的表达式中化简。此时 $u_n$ 变为关于 $a$ 的齐次单项式乘积，再利用等比数列（或等差相关）求和公式对 $u_n$ 进行二次求和。
2. 第（2）问：由于 $u_n$ 的结构是首项为 $a^n$、公比为 $\frac{b}{a}$ 的等比数列之和（当 $a\ne b$ 时），须分 $a>b$、 $a<b$ 和 $a=b$ 三种情况讨论，化简出 $u_n$ 和 $u_{n-1}$ 的显式表达式，再利用分式求极限的方法算出结果。

✅【答案】

Success

当 $a=b$ 时：$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(n+3)}{2},& a=1\\ \frac{2a-a^2-(n+1)a^{n+1}+n{a}^{n+2}}{(1-a{)}^2},& a\ne 1\end{array}$（2）当 $

✍【详细解析】

Abstract

解：（1） 当 $a=b$ 时，代入 $u_n$ 的表达式得： $u_n=a^n+a^{n-1}\cdot a+a^{n-2}\cdot a^2+\cdots +a\cdot a^{n-1}+a^n$ $u_n=\underset{n+1\text{ 项}}{\underbrace{a^n+a^n+a^n+\cdots +a^n}}=(n+1)a^n$

由 $S_n$ 为数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项和，知： $S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n=2a^1+3a^2+4a^3+\cdots +(n+1)a^n$

下面对公比 $a$ 是否等于 1 进行分类讨论： ① 若 $a=1$，则 $u_n=n+1$。 $S_n=2+3+4+\cdots +(n+1)=\frac{n[2+(n+1)]}{2}=\frac{n(n+3)}{2}$

② 若 $a\ne 1$，利用错位相减法求 $S_n$： $S_n=2a+3a^2+4a^3+\cdots +(n+1)a^n(3)$ $a{A}_n=2a^2+3a^3+4a^4+\cdots +n{a}^n+(n+1)a^{n+1}(4)$

(3) $-$ (4) 得： $(1-a)S_n=2a+(a^2+a^3+\cdots +a^n)-(n+1)a^{n+1}$ $(1-a)S_n=2a+\frac{a^2(1-a^{n-1})}{1-a}-(n+1)a^{n+1}=\frac{2a-a^2-a^{n+1}}{1-a}-(n+1)a^{n+1}$ $S_n=\frac{2a-a^2-(n+1)a^{n+1}+n{a}^{n+2}}{(1-a{)}^2}$

综上所述，当 $a=b$ 时： $S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(n+3)}{2},& a=1\\ \frac{2a-a^2-(n+1)a^{n+1}+n{a}^{n+2}}{(1-a{)}^2},& a\ne 1\end{array}$

（2） 当 $a\ne b$ 时， $u_n$ 是首项为 $a^n$，公比为 $\frac{b}{a}$ 的等比数列之和，项数为 $n+1$。 由等比数列求和公式得： $u_n=\frac{a^n\left[1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^{n+1}\right]}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ 同理可得： $u_{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$ 所以： $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n}$

下面分情况讨论求解极限： ① 当 $a>b>0$ 时， $\frac{b}{a}<1$，分子分母同除以 $a^n$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{a-b\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}=\frac{a-b\times 0}{1-0}=a$

② 当 $b>a>0$ 时， $\frac{a}{b}<1$，分子分母同除以 $b^n$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{a\cdot {\left(\frac{a}{b}\right)}^n-b}{{\left(\frac{a}{b}\right)}^n-1}=\frac{a\times 0-b}{0-1}=b$

③ 当 $a=b>0$ 时，由（1）知 $u_n=(n+1)a^n$， $u_{n-1}=n{a}^{n-1}$。 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+1)a^n}{n{a}^{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{n}\cdot a={\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)a=a$

综合 ①②③ 可知： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}=\max (a,b)$ （即 $a$ 与 $b$ 中的较大者）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：错位相减法求和、等比数列通项求和公式、无穷小量极限化简。
2. 核心方法：全称参数分类讨论法。
3. 避坑指南：一是在第一问等比求和时，很多学生容易漏掉公比 $a=1$ 的特殊情况；二是在第二问中，如果不分 $a>b$ 和 $a<b$ 进行讨论，直接强行开辟极限，由于不确定 ${\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ 是趋于 0 还是趋于 $\infty$，会导致极限结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题通项 $u_n$ 源于高数代数恒等式 $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)u_n$ 的逆向构造，属于考查分类讨论严密性的数理分析压轴题。 2.结论推广: 对于形如 $u_n={\sum }_{k=0}^n{a}^{n-k}{b}^k$ ($a,b>0$) 的序列，其相邻项比值的无穷极限值恒等于两基底参数的最大值，即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{u_{n-1}}=\max (a,b)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)