2005-天津卷理-17 解-余弦定理

本题导读

本题核心考查解三角形。通过余弦定理求解内角 $A$ 的大小，再结合正弦定理实现边角互化，利用三角恒等变换求出 $\tan B$ 的值。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中， $\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，设 $a,b,c$ 满足条件 $b^2+c^2-bc=a^2$ 和 $\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，求 $\angle A$ 和 $\tan B$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，结合已知条件 $b^2+c^2-bc=a^2$ 求得 $\cos A$，进而确定 $\angle A$ 的值。
2. 由正弦定理 $\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}$ 将已知条件 $\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$ 转化为关于内角 $B,C$ 的三角函数关系。
3. 利用三角形内角和关系 $C=\pi -(A+B)$ 展开，解出 $\tan B$ 的值。

✅【答案】

Success

$\angle A=\frac{\pi }{3}$，$\tan B=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由余弦定理知： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 结合已知条件 $a^2=b^2+c^2-bc$，可得： $2bc\cos A=bc$ 由于 $b,c>0$，两边同除以 $2bc$ 得： $\cos A=\frac{1}{2}$ 因为 $A\in (0,\pi )$， 所以 $\angle A=\frac{\pi }{3}$ （或 $60^{\circ }$）。

由 $\angle A=\frac{\pi }{3}$ 知， $\angle B+\angle C=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$，即 $C=\frac{2\pi }{3}-B$。 根据正弦定理 $\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}$，结合已知条件得： $\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}⟹\sin C=\left(\frac{1}{2}+\sqrt{3}\right)\sin B$ 将 $C=\frac{2\pi }{3}-B$ 代入上式左边展开： $\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos B-\cos \frac{2\pi }{3}\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B$ 所以： $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B=\left(\frac{1}{2}+\sqrt{3}\right)\sin B$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B=\frac{1}{2}\sin B+\sqrt{3}\sin B$ 两边消去 $\frac{1}{2}\sin B$ 得： $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B=\sqrt{3}\sin B$ 因为 $\sqrt{3}\ne 0$，两边同除以 $\sqrt{3}$ 变形得： $\sin B=\frac{1}{2}\cos B⟹\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{1}{2}$ 即： $\tan B=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理标准形应用、正弦定理边角互化、两角差的正弦公式。
2. 核心方法：统一化为角（或边）的单一体制求解法。
3. 避坑指南：在得到 $\cos A=\frac{1}{2}$ 后，务必在条件中交代 $A\in (0,\pi )$ 的约束范围以保证逻辑严密；在求解 $\tan B$ 时，由于展开后的 $\frac{1}{2}\sin B$ 能够恰好抵消，从而简化了直接用齐次式化简的步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“解三角形”章节中关于正弦、余弦定理交汇的核心例题与练习题。 2.结论推广: 在 $△ABC$ 中，若 $b^2+c^2-a^2=m\cdot bc$，则 $\cos A=\frac{m}{2}$。此外，若已知条件给出两边之比 $\frac{c}{b}=\lambda$，求解其余角时，利用边角互化式 $\sin (A+B)=\lambda \sin B$ 往往比代数直接求边更为简便。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)