2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

本题导读

本题考查奇函数零点性质、轴对称函数转换公式，以及由负号变换推导周期性。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称，则 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取条件方程：

• 奇函数 $⟹f(-x)=-f(x)$，且有隐含结论 $f(0)=0$。
• 关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称 $⟹f(x)=f(1-x)$。

2. 递推求周期：联立两方程消除或转化自变量，寻找 $f(x+T)=f(x)$ 的周期特征。
3. 计算特殊点函数值：将 $x=1,2,3,4,5$ 代入递推关系或对称方程中，求出各独立项的数值后直接相加。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，所以满足： $f(-x)=-f(x)\text{(1)}$ 且由于定义域包含 0，有： $f(0)=0\text{(2)}$

因为 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称，根据轴对称的函数性质满足： $f\left(\frac{1}{2}+x\right)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)$ 用 $x-\frac{1}{2}$ 替代上式中的 $x$，可转换为标准形式： $f(x)=f(1-x)\text{(3)}$

第一步：推导函数的周期性 由 ① 和 ③，我们可以进行如下自变量转化： $f(x+1)\stackrel{\text{(3)}}{=}f(1-(x+1))=f(-x)\stackrel{\text{(1)}}{=}-f(x)$ 即： $f(x+1)=-f(x)\text{(4)}$ 进一步向后递推两步： $f(x+2)=f((x+1)+1)\stackrel{\text{(4)}}{=}-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)$ 由此可知，函数 $f(x)$ 是以 $T=2$ 为周期的周期函数。

第二步：求出各对应项的函数值 利用周期 $T=2$ 进行项的化简：

• 对于 $f(1)$： 由 ③ 式令 $x=0$，得 $f(0)=f(1)$。而由 ② 已知 $f(0)=0$，所以： $f(1)=0$
• 对于 $f(2)$： 由周期性 $f(x+2)=f(x)$，可知 $f(2)=f(0)=0$。
• 对于 $f(3)$： 由周期性可知 $f(3)=f(1)=0$。
• 对于 $f(4)$： 由周期性可知 $f(4)=f(0)=0$。
• 对于 $f(5)$： 由周期性可知 $f(5)=f(1)=0$。

第三步：多项求和 将所有的特殊点函数值相加： $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+0+0+0=0$

故答案为： $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数零点性质、轴对称函数转换公式、由负号变换推导周期性。
2. 核心方法：自变量代换平移法。
3. 避坑指南：一是在由 $f(x+1)=-f(x)$ 判定周期时，容易错把周期记为 1，要牢记符号相反应两步完成一个完整的循环周期（即 $T=2$）；二是务必记住“定义域包含0的奇函数恒满足 $f(0)=0$”，这是整道题解出具体数值的关键源头。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是经典的高考压轴级填空题，将函数的对称轴与奇偶性（关于原点对称）相结合。这种“双对称中心/对称轴”的复合天然会诱导函数产生固定的正弦或余弦波动周期。 2.结论推广: 设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足两个几何对称条件： （1）关于点 $(a,0)$ 中心对称（如奇函数对应的 $(0,0)$）； （2）关于直线 $x=b$ 轴对称。 则该函数必为周期函数，其最小正周期满足 $T=4|b-a|$。在本题中， $a=0,b=\frac{1}{2}$，则 $T=4\times \left|\frac{1}{2}-0\right|=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

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