2005-天津卷理-15 填-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题核心考查利用统计频率估计概率，并求解离散型随机变量的数学期望。需要先明确收益变量的取值，再结合样本数据计算成功与失败的概率，最终套用期望公式求解。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 $12\%$，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 $50\%$，下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：

投资成功	投资失败
192 次	8 次

则该公司一年后估计可获收益的期望是$\underline{}$(元).

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用统计频率估计概率：由表格数据计算投资成功与投资失败的概率 $P_{\text{成功}}$ 与 $P_{\text{失败}}$。
2. 确定随机变量的取值：计算投资成功时的获利金额（正数）以及投资失败时的亏损金额（负数）。
3. 利用数学期望公式 $E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2$ 计算一年后的估计收益期望。

✅【答案】

Success

$4760$

✍【详细解析】

Abstract

根据历史 200 例类似项目的统计数据，可用频率估计概率：

• 投资成功的概率为： $P_1=\frac{192}{200}=0.96$
• 投资失败的概率为： $P_2=\frac{8}{200}=0.04$

设该公司一年后的获利收益为随机变量 $X$（单位：元）：

• 当投资成功时，获利 $12\%$，收益为： $x_1=50000\times 12\%=6000\text{ 元}$
• 当投资失败时，丧失全部资金的 $50\%$，即亏损 $50\%$，收益为： $x_2=-50000\times 50\%=-25000\text{ 元}$

因此，随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	6000	-25000
$P$	0.96	0.04

根据离散型随机变量数学期望的定义，该投资项目一年后收益的期望为： $E(X)=x_1{P}_1+x_2{P}_2=6000\times 0.96+(-25000)\times 0.04$ $E(X)=5760-1000=4760\text{ 元}$

故答案为： $4760$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率与概率的化归转化、离散型随机变量的期望计算。
2. 核心方法：分布列建模法。
3. 避坑指南：一是极易忽略单位换算，题目给出的投资本金是“5万元”，而最终要求的期望单位是“(元)”，必须在计算时将5万化为50000元；二是失败导致的“丧失资金”属于亏损，对应的收益取值必须带负号（即 $-25000$），若误用正数计算将导致完全错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“随机变量及其分布”中关于离散型随机变量期望的实际商业决策应用题，考查数学建模与数据分析核心素养。 2.结论推广: 设总投资为 $M$，成功获利概率为 $p$，利息率为 $r_1$；失败亏损概率为 $1-p$，亏损率为 $r_2$，则该投资的期望净收益通式可表示为： $E=M\cdot [p\cdot r_1-(1-p)\cdot r_2]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)