2005-天津卷理-13 填-隔项递推数列通用性质

本题导读

本题考查隔项递推数列通用性质、等差数列求和，以及奇偶分析步长配平。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1$， $a_2=2$，且 $a_{n+2}-a_n=1+(-1{)}^n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，则 $S_{100}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察递推式 $a_{n+2}-a_n=1+(-1{)}^n$，其反映了奇数项与奇数项、偶数项与偶数项之间的递推规律。
2. 分类讨论 $n$ 的奇偶性：

• 当 $n$ 为奇数时， $1+(-1{)}^n=0$，得到奇数项子数列的递推特征。
• 当 $n$ 为偶数时， $1+(-1{)}^n=2$，得到偶数项子数列的递推特征。

3. 将 $S_{100}$ 拆分为 50 个奇数项之和与 50 个偶数项之和，分别求和后相加。

✅【答案】

Success

$2600$

✍【详细解析】

Abstract

已知递推关系为： $a_{n+2}-a_n=1+(-1{)}^n$。 将前 100 项和 $S_{100}$ 按下标奇偶性进行分组拆分： $S_{100}=(a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{99})+(a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{100})$ 两个括号内各包含 50 个项。

第一步：求解奇数项之和 当 $n$ 为奇数时， $(-1{)}^n=-1$，此时递推式化为： $a_{n+2}-a_n=1+(-1)=0⟹a_{n+2}=a_n$ 这说明所有奇数项构成一个常数数列。 因为首项 $a_1=1$，所以： $a_1=a_3=a_5=\cdots =a_{99}=1$ 因此，前 50 个奇数项的和为： ${\Sigma }_{\text{奇}}=a_1+a_3+\cdots +a_{99}=50\times 1=50$

第二步：求解偶数项之和 当 $n$ 为偶数时， $(-1{)}^n=1$，此时递推式化为： $a_{n+2}-a_n=1+1=2$ 这说明所有偶数项构成一个公差 $d=2$ 的等差数列。 因为首项 $a_2=2$，项数为 50 项，最后一项为 $a_{100}$。 根据等差数列通项公式，第 50 个偶数项为： $a_{100}=a_2+(50-1)\times 2=2+49\times 2=100$ 因此，前 50 个偶数项的和为： ${\Sigma }_{\text{偶}}=a_2+a_4+\cdots +a_{100}=\frac{50\times (a_2+a_{100})}{2}=\frac{50\times (2+100)}{2}=25\times 102=2550$

第三步：计算总和 $S_{100}$ $S_{100}={\Sigma }_{\text{奇}}+{\Sigma }_{\text{偶}}=50+2550=2600$

故答案为： $2600$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：隔项递推数列通用性质、等差数列求和、奇偶分析步长配平。
2. 核心方法：奇偶项分离组合法。
3. 避坑指南：一是极易在划分偶数项等差数列的项数时出错，总共 100 项，偶数项个数为 $\frac{100}{2}=50$ 项，计算通项和求和时项数必须代入 50，不能误代入 100；二是注意 $-1$ 的乘方符号在 $n$ 取奇数和偶数时的正确对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题来源于人教A版选择性必修第二册“数列”章节中关于“数列求和”的延伸拓展题型，属于典型的“并行双子数列”求和模型。 2.结论推广: 对于满足 $a_{n+2}-a_n=f(n)$ 的数列，总和 $S_{2k}$ 均可无条件推广拆解为两个相互独立的步长为 1 的子级数求和问题： $S_{2k}={\sum }_{m=1}^k{a}_{2m-1}+{\sum }_{m=1}^k{a}_{2m}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)