2005-天津卷理-10 单-复合函数的单调性

本题导读

本题核心考查对数复合函数的单调性逆向求解参数范围问题。解题时需将复合函数的单调性转化为内层真数函数的单调性，并且必须严格保证内层函数在指定区间内满足“真数大于0”的本质约束条件条件。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 若函数 $f(x)={\log }_a(x^3-ax)$ ($a>0,a\ne 1$) 在区间 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 内单调递增，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $\left[\frac{1}{4},1\right)$　　　B. $\left[\frac{3}{4},1\right)$　　　C. $\left(\frac{9}{4},+\infty \right)$　　　D. $\left(1,\frac{9}{4}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设内层真数函数为 $g(x)=x^3-ax$。求出 $g(x)$ 的导数 $g^{\prime }(x)=3x^2-a$。
2. 分析单调性与真数约束条件：

• 首先，区间 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 必须在函数 $f(x)$ 的定义域内，即对任意 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$，恒有 $g(x)=x^3-ax>0$。
• 其次，根据复合函数“同增异减”的单调性原则，分情况讨论底数 $a$ 的范围：
  • 若 $a>1$，外层对数函数递增，则内层函数 $g(x)$ 需在 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 内单调递增。
  • 若 $0<a<1$，外层对数函数递减，则内层函数 $g(x)$ 需在 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 内单调递减。

3. 联立单调性条件与真数大于0的边界条件，解出参数 $a$ 的最终取值范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设内层真数函数为 $g(x)=x^3-ax$。

第一步：分析真数大于0（定义域恒成立）的条件 当 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$ 时， $x<0$。 要使 $g(x)=x(x^2-a)>0$，由于 $x<0$，必须满足： $x^2-a<0⟹x^2<a$ 因为 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)⟹x^2\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$。 要使 $x^2<a$ 在区间内恒成立，只需 $a$ 大于 $x^2$ 的最大极限值： $a\ge \frac{1}{4}\text{(1)}$

第二步：利用复合函数单调性分类讨论 对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)=3x^2-a$。

• 情况一：若 $a>1$ 此时外层对数函数 $y={\log }_{a}u$ 单调递增。 要使复合函数 $f(x)$ 单调递增，根据“同增异减”原则，内层函数 $g(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 内必须单调递增。 所以，当 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$ 时，恒有 $g^{\prime }(x)=3x^2-a\ge 0⟹a\le 3x^2$。 因为当 $x\to 0$ 时， $3x^2$ 的下确界为 0，这导致 $a\le 0$，与 $a>1$ 矛盾。故此情况无解。

• 情况二：若 $0<a<1$ 此时外层对数函数 $y={\log }_{a}u$ 单调递减。 要使复合函数 $f(x)$ 单调递增，根据“同增异减”原则，内层函数 $g(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ 内必须单调递减。 所以，当 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$ 时，恒有 $g^{\prime }(x)=3x^2-a\le 0⟹a\ge 3x^2$。 由于 $x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$ 时， $x^2<\frac{1}{4}$，所以 $3x^2<\frac{3}{4}$。 要使 $a\ge 3x^2$ 恒成立，只需满足： $a\ge \frac{3}{4}\text{(2)}$

综合 ①（$a\ge \frac{1}{4}$）、 ②（$a\ge \frac{3}{4}$）以及前提条件 $0<a<1$，取交集得： $\frac{3}{4}\le a<1$ 即 $a$ 的取值范围为 $\left[\frac{3}{4},1\right)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数复合函数单调性逆向推导、导数判定区间单调性、真数大于0的恒成立边界。
2. 核心方法：内、外层函数单调性匹配分类讨论法。
3. 避坑指南：本题是极易因漏掉**“真数严格大于0”**这一隐性隐含条件而导致做错的代表性题目。如果只根据单调性推出 $a\ge 3x^2⟹a\ge \frac{3}{4}$，虽然碰巧与正确答案的左边界吻合，但在其他类似题目中，如果不去检验 $a\ge \frac{1}{4}$ 以保证真数有意义，往往会扩大解的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题来源于人教A版选择性必修第二册“导数及其应用”与必修第一册“对数函数”中复合函数性质研究的经典结合体。 2.结论推广: 求解复合函数 $y={\log }_{a}f(x)$ 的单调区间或参数范围时，其标准步骤为两步： （1）求解定义域不等式 $f(x)>0$，求得可行域； （2）在第一步的可行域内，根据底数 $a>1$ 或 $0<a<1$ 分类，利用“同增异减”法则求解。两部分结果取交集才是最终正确结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)