2005-天津卷理-06 单-椭圆的几何性质与范围

本题导读

本题核心考查椭圆的范围与其外切矩形区域的几何包含关系。需要将“椭圆落在指定矩形区域内”转化为焦点或顶点坐标的代数不等式约束，再通过排列组合的分步、分类计数原理求得符合条件的元素对数。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 从集合 $\{1,2,3\cdots ,11\}$ 中任选两个元素作为椭圆方程 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$ 中的 $m$ 和 $n$，则能组成落在矩形区域 $B=\{(x,y)||x|<11\text{ 且 }|y|<9\}$ 内的椭圆个数为 ()

A. 43　　　　　　　B. 72　　　　　　　C. 86　　　　　　　D. 90

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确椭圆构成条件：方程 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$ 为椭圆的充要条件是 $m>0,n>0$ 且 $m\ne n$。
2. 分析几何包含条件：椭圆在 $x$ 轴上的范围为 $[-m,m]$，在 $y$ 轴上的范围为 $[-n,n]$。要使整个椭圆落在矩形区域 $|x|<11,|y|<9$ 内，四个顶点必须全部在矩形内部，即满足 $m<11$ 且 $n<9$。
3. 分类、分步计数：确定参数 $m$ 和 $n$ 的取值集合，计算在 $m\ne n$ 限制下的全排列组合数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$。 因为其是一个标准的椭圆，所以要求参数 $m$ 和 $n$ 不能相等，即 $m\ne n$。

椭圆上的任意点 $(x,y)$ 均满足范围限制： $|x|\le m$， $|y|\le n$。 题目要求整个椭圆完整地落在矩形区域 $B=\{(x,y)||x|<11\text{ 且 }|y|<9\}$ 的内部（不含边界）， 这意味着椭圆在两坐标轴上的最大边界端点（顶点）必须严格在矩形边界以内，即： $\{\begin{array}{l}m<11\\ n<9\end{array}$

由于 $m,n$ 是从集合 $S=\{1,2,3,\cdots ,11\}$ 中任选的两个不同的元素， 因此，参数 $m$ 和 $n$ 的可选范围被限制为：

• $m$ 只能从集合 $\{1,2,3,\cdots ,10\}$ 中选择（共 10 种可能）；
• $n$ 只能从集合 $\{1,2,3,\cdots ,8\}$ 中选择（共 8 种可能）。

下面利用分步乘法计数原理计算满足条件且 $m\ne n$ 的非重复对数： 如果不考虑 $m\ne n$ 的限制，任取 $m$ 和 $n$ 的总方法数为 $N_{\text{总}}=10\times 8=80$ 种。

在这 80 种组合中，包含了 $m=n$ 的不合法情况（此时方程表示圆，而非椭圆）。 因为 $m\in \{1,2,\cdots ,10\}$， $n\in \{1,2,\cdots ,8\}$， 所以使得 $m=n$ 的相同元素对只能在两集合的交集 $\{1,2,3,\cdots ,8\}$ 中产生。 显然，共有 8 种情况满足 $m=n$ （即 $(1,1),(2,2),\cdots ,(8,8)$）。

剔除这些使方程变为圆的特殊情况，能组成椭圆的个数为： $N=N_{\text{总}}-N_{\text{相同}}=80-8=72$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的几何边界范围（$|x|\le a,|y|\le b$）、排列组合中的排除法（正难则反）。
2. 核心方法：总数减去不合法数（减法原理）。
3. 避坑指南：一是极易忽略椭圆隐含定义条件 $m\ne n$，将满足条件的所有点对 $10\times 8=80$ 直接选出，错选 D；二是要看清矩形区域为严格的不等号“$<$”，因而作为边界的 $11$ 和 $9$ 均不能取到，从而缩减了 $m$ 和 $n$ 的可选集合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版选择性必修第一册“椭圆的几何性质”中关于轴对称、范围判定，与选择性必修第三册“计数原理”章节的经典交汇改编而来。 2.结论推广: 设 $m,n$ 从集合 $\{1,2,\dots ,K\}$ 中不放回抽取，要使曲线 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$ 成为落在矩形区域 $|x|<X,|y|<Y$ ($X,Y\le K+1$ 且均为正整数) 内的椭圆，其总个数公式为 $(X-1)(Y-1)-\min (X-1,Y-1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)