2005-天津卷理-03 单-不等式的性质与比较大小

本题导读

本题核心考查不等式性质、基本不等式以及圆与圆的位置关系的真伪命题判定，具有较强的综合性。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 给出下列三个命题： ① 若 $a\ge b>-1$，则 $\frac{a}{1+a}\ge \frac{b}{1+b}$； ② 若正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m\le n$，则 $\sqrt{m(n-m)}\le \frac{n}{2}$； ③ 设 $P(x_1,y_1)$ 为圆 $O_1:x^2+y^2=9$ 上任一点，圆 $O_2$ 以 $Q(a,b)$ 为圆心且半径为 1.当 $(a-x_1{)}^2+(b-y_1{)}^2=1$ 时，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相切. 其中假命题的个数为 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 判定 ①：使用作差法，将两式相减通分，结合 $a\ge b>-1$ 判定符号。
2. 判定 ②：利用基本不等式 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$，将 $m$ 与 $n-m$ 视为两正数进行放缩。
3. 判定 ③：分析条件 $(a-x_1{)}^2+(b-y_1{)}^2=1$ 的几何意义为两圆心距离 $|O_{2}P|=1$，结合点 $P$ 在圆 $O_1$ 上动点性质，判定两圆心距 $|O_1{O}_2|$ 的变化范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

① 判定（真命题）： 使用作差法： $\frac{a}{1+a}-\frac{b}{1+b}=\frac{a(1+b)-b(1+a)}{(1+a)(1+b)}=\frac{a+ab-b-ab}{(1+a)(1+b)}=\frac{a-b}{(1+a)(1+b)}$ 因为 $a\ge b>-1$，所以 $a-b\ge 0$，且 $1+a>0,1+b>0$。 故分式 $\frac{a-b}{(1+a)(1+b)}\ge 0$，即 $\frac{a}{1+a}\ge \frac{b}{1+b}$，命题 ① 为真命题。

② 判定（真命题）： 因为 $m,n$ 均为正整数且 $m\le n$，所以 $m>0$ 且 $n-m\ge 0$。 若 $n-m=0$，左边 $=0\le \frac{n}{2}$ 显然成立； 若 $n-m>0$，由基本不等式 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$ 得： $\sqrt{m(n-m)}\le \frac{m+(n-m)}{2}=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $m=n-m⟹n=2m$ 时等号成立。命题 ② 为真命题。

③ 判定（假命题）： 已知条件 $(a-x_1{)}^2+(b-y_1{)}^2=1$ 的几何意义是圆心 $Q(a,b)$ 到圆 $O_1$ 上某一个特定点 $P(x_1,y_1)$ 的距离 $|QP|=1$。 因为圆 $O_2$ 的半径为 1，这意味着圆 $O_2$ 的圆周刚好经过圆 $O_1$ 上的点 $P$。 但是，由于 $P$ 只是圆 $O_1$ 上的某一个任选定点，圆心距 $|O_1{O}_2|=|O_{1}Q|$ 可以随着 $Q$ 绕点 $P$ 旋转而发生变化： 根据三角形三边关系， $|O_{1}Q|$ 的范围为 $[|O_{1}P|-1,|O_{1}P|+1]=[3-1,3+1]=[2,4]$。 两圆相切的充要条件是圆心距 $|O_{1}Q|=R_1+R_2=3+1=4$（外切）或 $|O_{1}Q|=R_1-R_2=3-1=2$（内切）。 由于此时 $|O_{1}Q|$ 可以在区间 $[2,4]$ 内连续取值（例如可以等于 3，此时两圆相交），因此无法确保两圆一定相切。命题 ③ 为假命题。

综上所述，假命题只有 ③，共 1 个。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数式作差比较法、均值不等式代数放缩、圆与圆位置关系的圆心距判定标准。
2. 核心方法：作差化简法、几何动点分析法。
3. 避坑指南：第 ③ 问是极易出错的陷阱题。切忌将“圆 $O_2$ 经过圆 $O_1$ 上的一点”等同于“两圆相切”。相切要求两圆圆周在该点处具有公共切线，而此处圆 $O_2$ 的圆心可以在以 $P$ 为圆心、1 为半径的圆周上任意运动，多半情况下两圆处于相交状态。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题综合了人教A版选择性必修第一册“圆的方程”与必修第一册“基本不等式”章节的考点，通过概念辨析考查逻辑推理。 2.结论推广: 设圆 $O_1$ 半径为 $R$，圆 $O_2$ 半径为 $r$。若圆 $O_2$ 的圆周经过圆 $O_1$ 上的动点 $P$，则两圆相切的充要条件是两圆心连线 $O_1{O}_2$ 必须通过点 $P$，即 $O_1,O_2,P$ 三点共线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.02 均值不等式
• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)