2005-天津卷理-02 单-复数的代数运算

本题导读

本题核心考查复数的分式除法运算以及纯虚数的定义。解题关键是将复数化为标准代数形式 $A+B\text{i}$，再令其实部为 0 且虚部不为 0。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 若复数 $\frac{a+3\text{i}}{1+2\text{i}}$ ($a\in \mathbf{R}$， $\text{i}$ 为虚数单位) 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $-6$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-2\text{i}$，将复数化简为 $A+B\text{i}$ 的标准形式。
2. 根据纯虚数的定义，列出方程组：实部 $A=0$ 且虚部 $B\ne 0$。
3. 求解方程得到实数 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先进行复数除法化简： $\frac{a+3\text{i}}{1+2\text{i}}=\frac{(a+3\text{i})(1-2\text{i})}{(1+2\text{i})(1-2\text{i})}=\frac{a-2a\text{i}+3\text{i}-6{\text{i}}^2}{1^2-(2\text{i}{)}^2}$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，上式可化为： $\frac{(a+6)+(3-2a)\text{i}}{1+4}=\frac{a+6}{5}+\frac{3-2a}{5}\text{i}$

因为该复数为纯虚数，所以满足： $\{\begin{array}{l}\frac{a+6}{5}=0\\ \frac{3-2a}{5}\ne 0\end{array}⟹a=-6$ 当 $a=-6$ 时，虚部为 $\frac{3-2(-6)}{5}=3\ne 0$，符合题意。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的标准代数表示、分母实数化、纯虚数的边界条件。
2. 核心方法：共轭复数相乘法。
3. 避坑指南：概念记忆需严谨，纯虚数要求“实部为 0 且虚部绝对不能为 0”，虽然本题虚部自然不为 0，但在一些含有二次项的题目中必须通过虚部非零条件进行二次检验剔除伪根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选修类课程“复数”章节中关于复数四则运算与复数分类的基础练习题。 2.结论推广: 对于分式复数 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}$ ($c^2+d^2\ne 0$)，其为纯虚数的充要条件是 $ac+bd=0$ 且 $bc-ad\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

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