2005-天津卷理-01 单-绝对值不等式的解法

本题导读

本题核心考查一元一次绝对值不等式与分式不等式的基础解法，以及集合交集的运算。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 设集合 $A=\{x||4x-1|\ge 9,x\in \mathbf{R}\}$， $B=\left\{x|\frac{x}{x+3}\ge 0,x\in \mathbf{R}\right\}$，则 $A\cap B=($\quad\quad$)$

A. $(-3,-2]$　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-3,-2]\cup \left[0,\frac{5}{2}\right]$

C. $(-\infty ,-3]\cup \left[\frac{5}{2},+\infty \right)$　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-3)\cup \left[\frac{5}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式 $|4x-1|\ge 9$，确定集合 $A$。
2. 解分式不等式 $\frac{x}{x+3}\ge 0$，注意分母不为 0，确定集合 $B$。
3. 利用数轴或区间边界取交集，得出 $A\cap B$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解集合 $A$： 由 $|4x-1|\ge 9$ 得： $4x-1\ge 9\text{ 或 }4x-1\le -9$ 解得 $x\ge \frac{5}{2}$ 或 $x\le -2$。 所以 $A=(-\infty ,-2]\cup \left[\frac{5}{2},+\infty \right)$。

解集合 $B$： 由 $\frac{x}{x+3}\ge 0$ 等价于： $x(x+3)\ge 0\text{ 且 }x+3\ne 0$ 解得 $x\ge 0$ 或 $x<-3$。 所以 $B=(-\infty ,-3)\cup [0,+\infty )$。

求 $A\cap B$： 将集合 $A$ 与 $B$ 的区间在数轴上取公共部分：

• 当 $x\le -2$ 与 $x<-3$ 取交集时，得 $x<-3$，即 $(-\infty ,-3)$；
• 当 $x\ge \frac{5}{2}$ 与 $x\ge 0$ 取交集时，得 $x\ge \frac{5}{2}$，即 $\left[\frac{5}{2},+\infty \right)$。

综上所述， $A\cap B=(-\infty ,-3)\cup \left[\frac{5}{2},+\infty \right)$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与分式不等式的标准解集、集合交集运算。
2. 核心方法：等价整式转化法、区间端点数轴比对法。
3. 避坑指南：解分式不等式时务必注意分母非零条件， $x+3\ne 0⟹x\ne -3$，因此 $-3$ 处必须是开区间，从而排除选项 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“集合的基本运算”与“一元二次不等式及其解法”的经典交汇综合习题。 2.结论推广: 求解分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$ 时，其解集与整式不等式 $f(x)\cdot g(x)\ge 0$ 的主要区别仅在于排除使 $g(x)=0$ 的所有孤立边界点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)