2005-天津卷文-22 解-抛物线与向量综合

本题导读

本题考查抛物线与向量的综合，核心在于把斜率坐标化后与定比分点、向量夹角条件对接。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 抛物线 $C$ 的方程为 $y=a{x}^2$（$a<0$），过抛物线 $C$ 上一点 $P(x_0,y_0)$（$x_0\ne 0$）作斜率为 $k_1$，$k_2$ 的两条直线分别交抛物线 $C$ 于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点（$P$，$A$，$B$ 三点互不相同），且满足 $k_2+\lambda k_1=0$（$\lambda \ne 0$，$\lambda \ne -1$）．

(1) 求抛物线 $C$ 的焦点坐标和准线方程；

(2) 设直线 $AB$ 上一点 $M$，满足 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{MA}$，证明线段 $PM$ 的中点在 $y$ 轴上；

(3) 当 $\lambda =1$ 时，若点 $P$ 的坐标为 $(1,-1)$，求 $\angle PAB$ 为钝角时点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $x^2=\frac{y}{a}=\frac{1}{a}y$，即 $4p=\frac{1}{a}$，焦点 $(0,\frac{1}{4a})$，准线 $y=-\frac{1}{4a}$。
2. (2) $k_1=\frac{a{x}_1^2-a{x}_0^2}{x_1-x_0}=a(x_1+x_0)$，同 $k_2=a(x_2+x_0)$；代入 $k_2+\lambda k_1=0$ 得 $x_2+\lambda x_1=-(1+\lambda )x_0$。由 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{MA}$ 得 $(1+\lambda )x_M=x_2+\lambda x_1$，故 $x_M=-x_0$，中点横坐标 $\frac{x_0+x_M}{2}=0$。
3. (3) $\lambda =1$、$P(1,-1)$ 得 $a=-1$，$x_1+x_2=-2$。设 $x_1=x$，$\overrightarrow{AP}=(1-x)(1,-x-1)$、$\overrightarrow{AB}=-2(x+1)(1,2)$，数量积 $2(1-x)(x+1)(2x+1)$；钝角 $⟺$ 数量积 $<0$，解 $x\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (1,+\infty )$，$y_1=-x^2$ 得 $y_1\in (-\infty ,-1)\cup (-1,-\frac{1}{4})$。

✅【答案】

Success

先判断命题P.方程x2−ax−2=0

✍【详细解析】

Abstract

（1）将抛物线方程写成 $x^2=\frac{1}{a}y=4py$，所以 $p=\frac{1}{4a}$．因此抛物线的焦点为 $(0,\frac{1}{4a})$，准线方程为 $y=-\frac{1}{4a}$． （2）由于 $P$，$A$ 都在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，且 $P\ne A$，直线 $PA$ 的斜率为 $k_1=\frac{a{x}_1^2-a{x}_0^2}{x_1-x_0}=a(x_1+x_0)$． 同理 $k_2=a(x_2+x_0)$．由 $k_2+\lambda k_1=0$，并利用 $a\ne 0$，得 $x_2+x_0+\lambda (x_1+x_0)=0$，即 $x_2+\lambda x_1=-(1+\lambda )x_0$． 由 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{MA}$ 且 $\lambda \ne -1$，有 $(1+\lambda )\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{OA}$．比较横坐标，得 $(1+\lambda )x_M=x_2+\lambda x_1=-(1+\lambda )x_0$，故 $x_M=-x_0$． 若 $N$ 为线段 $PM$ 的中点，则 $x_N=\frac{x_0+x_M}{2}=0$，所以 $N$ 在 $y$ 轴上． （3）当 $\lambda =1$ 且 $P=(1,-1)$ 时，由 $y=a{x}^2$ 得 $a=-1$，$x_0=1$．由上面的关系式，$x_1+x_2=-2$，即 $x_2=-2-x_1$．设 $x_1=x$，则 $A=(x,-x^2)$，$B=(-2-x,-(x+2{)}^2)$，$P=(1,-1)$． 于是 $\overrightarrow{AP}=(1-x,x^2-1)=(1-x)(1,-x-1)$，$\overrightarrow{AB}=(-2x-2,-4x-4)=-2(x+1)(1,2)$． 因此 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=2(1-x)(x+1)(2x+1)$． 因为 $P$，$A$，$B$ 三点互不相同，相关向量均非零；$\angle PAB$ 为钝角的充要条件是数量积小于 $0$，所以 $(1-x)(x+1)(2x+1)<0$． 作符号讨论，得 $x\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (1,+\infty )$．又 $y_1=-x^2$，故 $y_1\in (-\infty ,-1)\cup (-1,-\frac{1}{4})$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与向量综合

核心方法：设参联立韦达，向量共线与数量积

避坑指南：$k_1=a(x_1+x_0)$、$k_2=a(x_2+x_0)$ 代入 $k_2+\lambda k_1=0$ 得 $x_2+\lambda x_1=-(1+\lambda )x_0$，与 $M$ 分点公式比对得中点横坐标 $0$；$\lambda =1$、$P(1,-1)$ 时 $x_1+x_2=-2$，钝角即 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}<0$ 解出 $y_1\in (-\infty ,-1)\cup (-1,-\frac{1}{4})$；斜率关系与向量等式交叉使用时字母分工要标清

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与斜率参数综合

结论推广：斜率用坐标差表示，参数关系式与向量共线等式联立消元

方法推广：$k=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ 在抛物线上化简为 $a(x_1+x_0)$ 是通用技巧；钝角条件即数量积小于零，别忘排除三点互异

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆
• 2010-大纲Ⅰ文-22 解-抛物线与内切圆