2005-天津卷文-15 填-复合函数定义域

本题导读

本题考查复合函数定义域的求解，核心在于逐层保证内外层均有意义再取交集。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$，则函数 $g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的定义域为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(t)$ 有意义 $⟺-1<t<1$（即 $\frac{1+t}{1-t}>0$）。
2. $f\left(\frac{x}{2}\right)$：$-1<\frac{x}{2}<1$ 得 $-2<x<2$。
3. $f\left(\frac{1}{x}\right)$：$x\ne 0$ 且 $-1<\frac{1}{x}<1$ 得 $|x|>1$。
4. 交集：$(-2,-1)\cup (1,2)$。

✅【答案】

Success

$(-2,-1)\cup (1,2)$．

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(t)=\ln \frac{1+t}{1-t}$ 有意义的充要条件为 $\frac{1+t}{1-t}>0$，解得 $-1<t<1$．因此 $f\left(\frac{x}{2}\right)$ 有意义要求 $-1<\frac{x}{2}<1$， 即 $-2<x<2$． 同时，$f\left(\frac{1}{x}\right)$ 有意义要求 $x\ne 0$ 且 $-1<\frac{1}{x}<1$，即 $|x|>1$．两组条件取交集，得到定义域为 $(-2,-1)\cup (1,2)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数定义域

核心方法：里层范围逐层求解，取交集

避坑指南：$f$ 有意义 $⟺-1<t<1$；$-1<\frac{x}{2}<1$ 给 $-2<x<2$，$-1<\frac{1}{x}<1$ 给 $|x|>1$，交得 $(-2,-1)\cup (1,2)$；两层条件缺一不可

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数定义域双层求解

结论推广：内层函数值域与外层定义域逐层套，最后取交集

方法推广：$\frac{1}{x}$ 型条件转化为 $|x|$ 不等式再解；分式与根式条件并列时逐条列出防漏

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-15 填-三角函数零点
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数