2005-天津卷文-13 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成角，核心在于建系后由向量夹角余弦转正切。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 如图，$PA\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ACB=90^{\circ }$ 且 $PA=AC=BC=a$，则异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成角的正切值等于$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $C$ 为原点，$CA$、$CB$ 所在直线为 $x$、$y$ 轴建系：$C(0,0,0)$、$A(a,0,0)$、$B(0,a,0)$、$P(a,0,a)$。
2. $\overrightarrow{PB}=(-a,a,-a)$，$\overrightarrow{AC}=(-a,0,0)$，$\cos \theta =\frac{a^2}{a\sqrt{3}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
3. $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\tan \theta =\frac{\sqrt{2/3}}{1/\sqrt{3}}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$\surd 2$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $C$ 为原点，令 $CA$ 所在直线为 $x$ 轴，$CB$ 所在直线为 $y$ 轴，过 $A$ 且垂直于平面 $ABC$ 的直线为 $z$ 轴方向．于是可取 $C=(0,0,0)$，$A=(a,0,0)$，$B=(0,a,0)$，$P=(a,0,a)$． 所以 $\overrightarrow{PB}=(-a,a,-a)$，$\overrightarrow{AC}=(-a,0,0)$．设异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成的锐角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{a^2}{a\sqrt{3}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$． 因此 $\tan \theta =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }=\frac{\sqrt{2/3}}{1/\sqrt{3}}=\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角

核心方法：建系或平移求异面角

避坑指南：以 $C$ 为原点建系，$\overrightarrow{PB}=(-a,a,-a)$、$\overrightarrow{AC}=(-a,0,0)$，$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\tan \theta =\sqrt{2}$；异面角取锐角（或直角）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线成角向量法

结论推广：建系后方向向量夹角余弦取绝对值，再转正切

方法推广：三侧棱两两垂直型直接建系；平移法与向量法结果互验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-11 单-异面直线所成的角
• 2018-全国卷II理-09 单-空间直角坐标系