2005-天津卷文-10 单-周期函数对称性比较

本题导读

本题考查周期性与对称性对函数值的联动约化，核心在于先归约到同一单调区间再比较大小。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上以 $6$ 为周期的函数，$f(x)$ 在 $(0,3)$ 内单调递增，且 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称，则下面正确的结论是()

A. $f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)$　　　　　　　B. $f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)$

C. $f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)$　　　　　　　D. $f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 周期 $6$：$f(6.5)=f(0.5)$。
2. 对称轴 $x=3$：$f(3.5)=f(2.5)$。
3. $(0,3)$ 内递增：$f(0.5)<f(1.5)<f(2.5)$，即 $f(6.5)<f(1.5)<f(3.5)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由周期性，$f(6.5)=f(0.5)$；由图象关于 $x=3$ 对称，$f(3.5)=f(2.5)$．因为 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 内单调递增，所以 $f(0.5)<f(1.5)<f(2.5)$． 因此 $f(6.5)<f(1.5)<f(3.5)$，即选项 C 正确，故选 C 注：网络流传改编版将题干改为”单调递减”并选 B；原卷印”单调递增”，官方答案册解析同”递增”口径，按原卷录 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期函数对称性比较

核心方法：周期化简归同区间，再按单调排序

避坑指南：$f(6.5)=f(0.5)$、$f(3.5)=f(2.5)$，在 $(0,3)$ 内 $f(0.5)<f(1.5)<f(2.5)$，故 $f(6.5)<f(1.5)<f(3.5)$；对称轴 $x=3$ 用 $f(3.5)=f(2.5)$ 别代错方向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期与对称联动比较函数值

结论推广：$f(x+T)=f(x)$ 与轴对称 $f(2a-x)=f(x)$ 联用把值归到同一单调区间

方法推广：周期 $T$ 与对称轴 $x=a$ 交替使用可把任意自变量归约到基准区间；列不等式前先画数轴示意

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I理-10 单-抛物线
• 2020-新课标III文-12 单-函数对称性