2005-天津卷文-09 单-对数型复合函数单调区间

本题导读

本题考查对数型复合函数的单调性，核心在于由函数值的符号逼出底数范围，再对导数分段判号。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 若函数 $f(x)={\log }_a(2x^2+x)$（$a>0$，$a\ne 1$）在区间 $(0,\frac{1}{2})$ 内恒有 $f(x)>0$，则 $f(x)$ 的单调递增区间为()

A. $(-\infty ,-\frac{1}{4})$　　　　B. $(-\frac{1}{4},+\infty )$　　　　C. $(0,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,-\frac{1}{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时 $0<2x^2+x<1$，要 ${\log }_a(2x^2+x)>0$ 必须 $0<a<1$。
2. 定义域：$2x^2+x>0$ 得 $x<-\frac{1}{2}$ 或 $x>0$。
3. $f^{\prime }(x)=\frac{4x+1}{(2x^2+x)\ln a}$，$\ln a<0$：$x<-\frac{1}{2}$ 时 $4x+1<0$，$f^{\prime }(x)>0$；$x>0$ 时 $4x+1>0$，$f^{\prime }(x)<0$。故增区间 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时，$0<2x^2+x<1$．要使 ${\log }_a(2x^2+x)>0$ 恒成立，必须有 $0<a<1$，因为底数大于 $1$ 时对数函数在 $(0,1)$ 上取负值． 函数定义域满足 $2x^2+x>0$，即 $x<-\frac{1}{2}$ 或 $x>0$．在定义域内 $f^{\prime }(x)=\frac{4x+1}{(2x^2+x)\ln a}$． 由于 $0<a<1$，所以 $\ln a<0$．当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$4x+1<0$，从而 $f^{\prime }(x)>0$；当 $x>0$ 时，$4x+1>0$，从而 $f^{\prime }(x)<0$．因此 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型复合函数单调区间

核心方法：真数落区间定底数，导数按段讨论

避坑指南：$0<2x^2+x<1$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 恒真 $\Rightarrow 0<a<1$；$\ln a<0$ 使 $\frac{4x+1}{(2x^2+x)\ln a}$ 在 $x<-\frac{1}{2}$ 为正，递增区间 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$；漏验真数小于 $1$ 会误判底数范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型复合函数单调性

结论推广：底数未定先由条件逼出 $0<a<1$，再按同增异减分层讨论

方法推广：真数范围与底数范围联立是标准套路；导数符号分层列表更稳

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷(理)-09 单-对数函数
• 2020-新课标III文-10 单-比较大小