2005-天津卷文-07 单-命题真假判定

本题导读

本题考查命题真假的判定，核心在于借助函数的单调性与作差比较逐项验证。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 给出下列三个命题： ①若 $a⩾b>-1$，则 $\frac{a}{1+a}⩾\frac{b}{1+b}$； ②若正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m⩽n$，则 $\sqrt{m(n-m)}⩽\frac{n}{2}$； ③设 $P(x_1,y_1)$ 为圆 $O_1:x^2+y^2=9$ 上任一点，圆 $O_2$ 以 $Q(a,b)$ 为圆心且半径为 $1$．当 $(a-x_1{)}^2+(b-y_1{)}^2=1$ 时，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相切． 其中假命题的个数为()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①：$h(x)=\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$ 在 $(-1,+\infty )$ 上递增，故 $h(a)⩾h(b)$，真。
2. ②：$\frac{n^2}{4}-m(n-m)=\frac{(n-2m{)}^2}{4}⩾0$，故 $\sqrt{m(n-m)}⩽\frac{n}{2}$，真。
3. ③：条件只说 $|PQ|=1$，而两圆半径为 $3$ 与 $1$，圆心距应为 $4$（外切）或 $2$（内切），$|PQ|$ 是”圆心到圆上点”距离非圆心距，假。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对命题①，函数 $h(x)=\frac{x}{1+x}$ 在 $(-1,+\infty )$ 上的导数为 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}>0$，所以 $a⩾b>-1$ 时 $h(a)⩾h(b)$，命题①正确． 对命题②，由 $m⩽n$ 可知两边均非负，且 $\frac{n^2}{4}-m(n-m)=\frac{(n-2m{)}^2}{4}⩾0$，所以 $\sqrt{m(n-m)}⩽\frac{n}{2}$，命题②正确． 对命题③，条件给出圆心 $Q$ 与圆 $O_1$ 上点 $P$ 的距离为 $1$，但两圆半径分别为 $3$ 和 $1$．两圆相切要求圆心距为 $3+1=4$ 或 $3-1=2$，而这里 $|PQ|=1$ 只是点 $Q$ 到圆上某点的距离，不等于圆心距，命题③错误． 因此假命题有 $1$ 个，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：命题真假判定

核心方法：构造函数单调性逐判

避坑指南：$\frac{x}{1+x}$ 在 $(-1,+\infty )$ 增故①真；$\sqrt{m(n-m)}\le \frac{n}{2}$ 由平方差非负故②真；圆心距为 $1\ne 2$ 或 $4$ 故③假；注意”假命题个数”问的是数量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多命题真假判定综合题

结论推广：分式函数 $\frac{x}{1+x}$ 单调性、均值不等式变形、圆与圆位置关系三类知识拼盘

方法推广：逐命题独立判定再统计个数；命题③类”圆心距与半径关系”直接列式验证不动笔画图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2020-新课标II文-16 填-复合命题