2005-天津卷文-06 单-双曲线渐近线斜率

本题导读

本题考查双曲线的焦点、准线与渐近线斜率，核心在于由焦点、准线的几何位置解出 $a^2,b^2$。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 设双曲线以椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为()

A. $\pm 2$　　　　　　　B. $\pm \frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\pm \frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\pm \frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆长轴端点 $(\pm 5,0)$ 即双曲线焦点，$c=5$；椭圆焦点 $(\pm 4,0)$，故双曲线准线 $x=\pm 4$。
2. 准线 $\frac{a^2}{c}=4$ 得 $a^2=20$，$b^2=c^2-a^2=5$。
3. 渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}=\pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\pm \frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的长轴端点为 $(-5,0)$，$(5,0)$，所以所求双曲线的焦点为 $(-5,0)$，$(5,0)$，其焦距为 $2c=10$，$c=5$．椭圆的焦点为 $(-4,0)$，$(4,0)$，因此双曲线的一条准线为 $x=4$ 或 $x=-4$． 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则 $a^2+b^2=c^2=25$，准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$．由 $\frac{a^2}{5}=4$，得 $a^2=20$，从而 $b^2=5$．故渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}=\pm \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\pm \frac{1}{2}$，所以选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线斜率

核心方法：焦点准线定位，待定渐近线

避坑指南：双曲线焦点为椭圆长轴端点 $(\pm 5,0)$、一条准线 $x=4$，由 $\frac{a^2}{c}=4$ 得 $a^2=20$，$b^2=5$，斜率 $\pm \frac{1}{2}$；别把椭圆短轴端点当焦点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线焦点准线互置题

结论推广：双曲线 $a^2+b^2=c^2$、准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 焦点公式常互为素材

方法推广：双曲线离心率与渐近线斜率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 联动；把”准线过椭圆焦点”翻译成方程是破题起点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-06 单-双曲线的标准方程与几何性质
• 1982-全国理-06 解-极坐标轨迹方程