2005-天津卷文-03 单-独立重复试验概率

本题导读

本题考查独立重复试验中”至少”型概率，核心在于将”至少两次”拆为两个互斥情形分别用二项概率公式计算。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 某人射击一次击中的概率为 $0.6$，经过 $3$ 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()

A. $\frac{81}{125}$　　　　　B. $\frac{54}{125}$　　　　　C. $\frac{36}{125}$　　　　　D. $\frac{27}{125}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $p=0.6=\frac{3}{5}$，未击中 $q=\frac{2}{5}$。
2. 至少两次 $=$ 恰两次 $+$ 恰三次：${\mathrm{C}}_3^2(\frac{3}{5}{)}^2\cdot \frac{2}{5}+(\frac{3}{5}{)}^3=\frac{54}{125}+\frac{27}{125}=\frac{81}{125}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设每次射击击中的概率为 $p=0.6=\frac{3}{5}$，未击中的概率为 $1-p=\frac{2}{5}$．至少两次击中包括恰有两次击中和三次都击中两种互斥情形，因此所求概率为 ${\mathrm{C}}_3^2(\frac{3}{5}{)}^2\cdot \frac{2}{5}+(\frac{3}{5}{)}^3=\frac{54}{125}+\frac{27}{125}=\frac{81}{125}$． 故选 A 注：网络流传改编版将题干改为”恰有两次击中”并选 B；原卷印”至少有两次”，官方答案册解析同”至少”口径，按原卷录 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验概率

核心方法：对立情形拆分求和

避坑指南：至少两次 $=$ 恰两次 $+$ 恰三次 $={\mathrm{C}}_3^2{(0.6)}^2(0.4)+{(0.6)}^3=\frac{81}{125}$；“至少”漏加全中情形是高频失分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验”至少”型标准题

结论推广：“至少 $k$ 次” $=$ ${\sum }_{i=k}^n{\mathrm{C}}_n^i{p}^i(1-p{)}^{n-i}$，$n\le 4$ 时直接分类求和

方法推广：对立事件法 $1-P(\text{至多}k-1)$ 与直接分类法双轨验算，结果一致再写答案

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-04 单-概率应用
• 2018-全国卷II文-05 单-古典概型