2005-北京卷理-20 解-新定义函数问题

本题导读

本题考查单调性与函数最值区间的逻辑排查、最优化算法中的决策树边界控制。核心在于反证法、微调构造法。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 20. 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{\ast }\in (0,1)$，使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{\ast }]$ 上单调递增，在 $[x^{\ast },1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数， $x^{\ast }$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

(1) 证明：对任意的 $x_1,x_2\in (0,1)$， $x_1<x_2$，若 $f(x_1)⩾f(x_2)$，则 $(0,x_2)$ 为含峰区间；若 $f(x_1)⩽f(x_2)$，则 $(x_1,1)$ 为含峰区间；

(2) 对给定的 $r$ ($0<r<0.5$)，证明：存在 $x_1,x_2\in (0,1)$，满足 $x_2-x_1⩾2r$，使得由 (1) 所确定的含峰区间的长度不大于 $0.5+r$；

(3) 选取 $x_1,x_2\in (0,1)$， $x_1<x_2$，由 (1) 可确定含峰区间为 $(0,x_2)$ 或 $(x_1,1)$，在所得的含峰区间内选取 $x_3$，由 $x_3$ 与 $x_1$ 或 $x_3$ 与 $x_2$ 类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为 $(0,x_2)$ 的情况下，试确定 $x_1,x_2,x_3$ 的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34. 注：区间长度等于区间的右端点与左端点之差.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（反证法）：

• 若 $f(x_1)⩾f(x_2)$，用反证法：假设峰点 $x^{\ast }\notin (0,x_2)$，即 $x^{\ast }⩾x_2$。因 $x_1<x_2⩽x^{\ast }$，且 $f(x)$ 在 $[0,x^{\ast }]$ 上单调递增，则必有 $f(x_1)<f(x_2)$，与已知矛盾。
• 同理可证 $f(x_1)⩽f(x_2)$ 的情况。

2. 第二问（构造边界平衡点）：

• 由 (1) 知所得区间长度分别为 $x_2$ 或 $1-x_1$。为使最大长度不大于 $0.5+r$，可令 $x_2=0.5+r$ 且 $1-x_1=0.5+r⟹x_1=0.5-r$。
• 验证此构造是否满足 $x_2-x_1⩾2r$ 即可。

3. 第三问（分段区间动态最优化）：

• 第一次含峰区间为 $(0,x_2)$，其长度为 $x_2$。在此区间内插入 $x_3$。
• 根据 $x_3$ 与 $x_1$ 的大小关系，可分为 $x_3<x_1$ 或 $x_3>x_1$（即 $x_1<x_3<x_2$）。
• 目标是保证二次缩减后的所有可能区间长度的最大值等于 0.34。通过建立长度控制的线性方程组，结合两两之差不小于 0.02 的约束条件解出具体数值。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $x_1=0.32$，$x_2=0.66$，$x_3=0.34$（或 $x_1=0.34$，$x_2=0.66$，$x_3=0.32$ 等满足条件的一组值，答案不唯一，给出一种即可）。

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 证明：

• 第一部分：已知 $x_1<x_2$，且 $f(x_1)⩾f(x_2)$。 用反证法：假设 $x^{\ast }\notin (0,x_2)$，则必有 $x^{\ast }⩾x_2$。 由于 $x_1<x_2⩽x^{\ast }$，而已知 $f(x)$ 在 $[0,x^{\ast }]$ 上单调递增， 根据单调递增的定义，必有 $f(x_1)<f(x_2)$。 这与已知条件 $f(x_1)⩾f(x_2)$ 矛盾。 因此，假设不成立，必有 $x^{\ast }\in (0,x_2)$，即 $(0,x_2)$ 为含峰区间。

• 第二部分：已知 $x_1<x_2$，且 $f(x_1)⩽f(x_2)$。 用反证法：假设 $x^{\ast }\notin (x_1,1)$，则必有 $x^{\ast }⩽x_1$。 由于 $x^{\ast }⩽x_1<x_2$，而已知 $f(x)$ 在 $[x^{\ast },1]$ 上单调递减， 根据单调递减的定义，必有 $f(x_1)>f(x_2)$。 这与已知条件 $f(x_1)⩽f(x_2)$ 矛盾。 因此，假设不成立，必有 $x^{\ast }\in (x_1,1)$，即 $(x_1,1)$ 为含峰区间。

(2) 证明：

由 (1) 可知，由 $x_1,x_2$ 确定的含峰区间可能为 $(0,x_2)$ 或 $(x_1,1)$，其长度分别为 $x_2$ 和 $1-x_1$。 为了让确定出的含峰区间长度不论是哪一种情况都不大于 $0.5+r$，我们可以令两个极限长度相等，即： $\{\begin{array}{l}{x}_2=0.5+r\\ 1-x_1=0.5+r\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1=0.5-r\\ x_2=0.5+r\end{array}$

由于 $0<r<0.5$，所以 $0<0.5-r<0.5+r<1$，即 $x_1,x_2\in (0,1)$。 此时，计算两点间的距离： $x_2-x_1=(0.5+r)-(0.5-r)=2r$ 满足条件 $x_2-x_1⩾2r$。

此时，不论 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 大小关系如何，确定的含峰区间长度（ $x_2$ 或 $1-x_1$ ）均等于 $0.5+r$，自然满足“不大于 $0.5+r$”。 命题得证。

(3) 确定 $x_1,x_2,x_3$ 的值

第一次确定含峰区间为 $(0,x_2)$，意味着在第一步比较中满足了 $f(x_1)⩾f(x_2)$。此时峰点 $x^{\ast }\in (0,x_2)$。 我们需要在 $(0,x_2)$ 内取一点 $x_3$，并将 $x_3$ 与已有的一点进行比较。为了实现最大的区间缩减效率，应将 $x_3$ 与 $x_1$ 组合进行二次比较。

由于 $x_3$ 与 $x_1$ 的相对位置有两类取法，我们选择 $x_1<x_3<x_2$ 进行分析（对称取法 $x_3<x_1$ 结果对调）：

此时三个点满足： $0<x_1<x_3<x_2<1$。 根据 (1) 的区间缩减原理，对比 $f(x_1)$ 与 $f(x_3)$ 的大小：

• 若 $f(x_1)⩾f(x_3)$，则新含峰区间缩短为 $(0,x_3)$，其长度为 $x_3$；
• 若 $f(x_1)⩽f(x_3)$，则新含峰区间缩短为 $(x_1,x_2)$，其长度为 $x_2-x_1$。

为了确保最终新的含峰区间长度在任何概率分支下都能严格缩短到 0.34，应令各分支的最大可能长度等于 0.34： $\{\begin{array}{l}{x}_3=0.34\\ x_2-x_1=0.34\end{array}$

又由于必须同时兼顾第一步中若出现另一种分支（即 $f(x_1)⩽f(x_2)$ ）时区间 $(x_1,1)$ 的对称最优控制，根据第 (2) 问的对等思想，设第一步两端长度对等平衡，即： $1-x_1=x_2⟹x_1+x_2=1$

联立方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_3=0.34\\ x_2-x_1=0.34\\ x_1+x_2=1\end{array}$ 解两元一次方程组 $x_2-x_1=0.34$ 与 $x_1+x_2=1$，两式相加得 $2x_2=1.34⟹x_2=0.67$。 两式相减得 $2x_1=0.66⟹x_1=0.33$。

此时解得： $x_1=0.33,x_2=0.67,x_3=0.34$。 接下来验证题目中的“两两之差的绝对值不小于 0.02”这一约束条件： $|x_3-x_1|=|0.34-0.33|=0.01<0.02$ 不满足约束。

为了满足两两之差不小于 0.02，必须对平衡点进行微调。 要使 $|x_3-x_1|⩾0.02$，在 $x_3=0.34$ 固定的情况下， $x_1$ 只能向左移动（减小）。 令 $x_1=0.32$。 为了保持二次缩减区间 $x_2-x_1=0.34$ 严格成立， $x_2$ 必须相应变动： $x_2=x_1+0.34=0.32+0.34=0.66$

此时检查各点： $x_1=0.32,x_2=0.66,x_3=0.34$。

• 检查两两之差绝对值： $|x_3-x_1|=0.02⩾0.02$ $|x_2-x_3|=0.32⩾0.02$ $|x_2-x_1|=0.34⩾0.02$ 完全符合要求。
• 检查此时的最大新含峰区间长度： 若第一次得 $(0,x_2)$，二次比较后长度为 $x_3=0.34$ 或 $x_2-x_1=0.34$，成功缩短到 0.34。

根据对称性，若选取 $x_3<x_1$，可得另一组对称解： $x_1=0.34,x_2=0.68,x_3=0.32$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单调性与函数最值区间的逻辑排查、最优化算法中的决策树边界控制。 核心方法：反证法（第一问）、微调构造法（第三问）。

避坑指南：

• 第三问切勿漏掉两两之差不小于 0.02 的约束检查。直接联立理想对称方程算出来的组 $(0.33,0.67,0.34)$ 属于极其隐蔽的陷阱，必须通过主动将 $x_1$ 降低 0.01（或将 $x_3$ 提高）进行边缘微调，才能拿到第三问的满分。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)