2005-北京卷理-19 解-分段递推数列

本题导读

本题考查分段奇偶递推数列的交叉化简、等比数列的严格定义证明、无穷收敛数列的极限求和。核心在于奇偶项跨步代换法。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 19. 设数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=a\ne \frac{1}{4}$，且 $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{a}_n,& n\text{ 为偶数}\\ a_n+\frac{1}{4},& n\text{ 为奇数}\end{array}$ . 记 $b_n=a_{2n-1}-\frac{1}{4},n=1,2,3,\cdots$.

(1) 求 $a_2,a_3$；

(2) 判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论；

(3) 求 ${\lim }_{n\to \infty }(b_1+b_2+\cdots +b_n)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（项的递推）：根据给定的分段递推公式， $n=1$ 为奇数，代入下段求出 $a_2$； $n=2$ 为偶数，代入上段求出 $a_3$。
2. 第二问（等比数列判定）：

• 建立 $b_{n+1}$ 与 $b_n$ 的递推关系。
• 通过 $b_{n+1}=a_{2n+1}-\frac{1}{4}$，利用两次分段递推式（ $2n$ 为偶数， $2n-1$ 为奇数），将 $a_{2n+1}$ 逐步还原转化为由 $a_{2n-1}$ 表达的式子。
• 观察 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ 是否为常数。

3. 第三问（无穷极限求和）：由于 $\{b_n\}$ 为等比数列，其前 $n$ 项和为等比求和。判定公比的绝对值是否小于 1，应用无穷递缩等比数列求和极限公式 $\frac{b_1}{1-q}$ 直接求解。

✅【答案】

Success

数列 $\{b_n\}$ 是以 $a-\frac{1}{4}$ 为首项， $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求 $a_2,a_3$

• 算 $a_2$：因为 $n=1$ 是奇数，代入奇数段的递推式 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{4}$ 得： $a_2=a_1+\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4}$

• 算 $a_3$：因为 $n=2$ 是偶数，代入偶数段的递推式 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$ 得： $a_3=\frac{1}{2}{a}_2=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}a+\frac{1}{8}$

(2) 判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明结论

结论：数列 $\{b_n\}$ 是等比数列。

证明如下： 已知 $b_n=a_{2n-1}-\frac{1}{4}$，则对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，下一项为： $b_{n+1}=a_{2(n+1)-1}-\frac{1}{4}=a_{2n+1}-\frac{1}{4}$

由于 $2n$ 必然是偶数，根据递推公式： $a_{2n+1}=\frac{1}{2}{a}_{2n}$ 由于 $2n-1$ 必然是奇数，根据递推公式： $a_{2n}=a_{2n-1}+\frac{1}{4}$

将 $a_{2n}$ 的表达式代入 $a_{2n+1}$ 中进行复合化简： $a_{2n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{2n-1}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}{a}_{2n-1}+\frac{1}{8}$

此时将上式代入 $b_{n+1}$ 的表达式中： $b_{n+1}=\left(\frac{1}{2}{a}_{2n-1}+\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}{a}_{2n-1}-\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\left(a_{2n-1}-\frac{1}{4}\right)$

结合 $b_n=a_{2n-1}-\frac{1}{4}$ 的定义，显然有： $b_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n$

又因为首项 $b_1=a_1-\frac{1}{4}=a-\frac{1}{4}$，已知条件说明 $a\ne \frac{1}{4}⟹b_1\ne 0$。 所以，对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有： $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{2}(\text{常数})$

综上所述， 数列 $\{b_n\}$ 是以 $a-\frac{1}{4}$ 为首项， $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。

(3) 求 ${\lim }_{n\to \infty }(b_1+b_2+\cdots +b_n)$

记 $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$。 由于 $\{b_n\}$ 是等比数列，首项 $b_1=a-\frac{1}{4}$，公比 $q=\frac{1}{2}$。由等比数列求和公式： $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\left(a-\frac{1}{4}\right)\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{2}}=2\left(a-\frac{1}{4}\right)\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]$

对 $S_n$ 取 $n\to \infty$ 的极限，由于 $\left|\frac{1}{2}\right|<1$，故 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }2\left(a-\frac{1}{4}\right)\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]=2\left(a-\frac{1}{4}\right)\times (1-0)=2a-\frac{1}{2}$

所以， ${\lim }_{n\to \infty }(b_1+b_2+\cdots +b_n)=2a-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段奇偶递推数列的交叉化简、等比数列的严格定义证明（邻项比值法）、无穷收敛数列的极限求和。 核心方法：奇偶项跨步代换法。

避坑指南：

• 证明等比数列时切勿只算前几项的数值比例。部分同学计算了 $\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2}$ 就直接得出结论。这在解答题中属于严重丢分点，必须使用通项代数式证明对任意的 $n$ 均有 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ 为常数。
• 不要忽略首项非零的边界检验。等比数列隐含定义中首项与公比均不能为 0，题目中给出的 $a\ne \frac{1}{4}$ 恰好是为了保证 $b_1\ne 0$，这一步在逻辑论证时应当在解题步骤里予以体现。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变递推式的首项或系数，用待定系数法构造等比数列，或改用裂项、错位相减求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)