2005-北京卷理-17 解-独立重复试验与二项分布

本题导读

本题考查独立重复试验模型判定、对立事件概率转化、互斥与独立事件概率复合。核心在于对立事件法、分类讨论法。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 17. 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$，乙每次击中目标的概率为 $\frac{2}{3}$.

(1) 记甲击中目标的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的概率分布及数学期望 $E\xi$；

(2) 求乙至多击中目标 2 次的概率；

(3) 求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（二项分布与期望）：甲进行了 3 次独立重复试验，每次击中的概率恒定，因此 $\xi$ 服从二项分布 $B\left(3,\frac{1}{2}\right)$。计算其可能取值的概率，列出分布列并利用公式 $E\xi =np$ 计算数学期望。
2. 第二问（对立事件）：乙至多击中 2 次的对立事件是“乙击中 3 次”。利用对立事件概率公式 $P=1-P(\text{击中 }3\text{ 次})$ 简化计算。
3. 第三问（分类讨论与独立性）：设乙击中目标的次数为 $\eta$。“甲恰好比乙多击中 2 次”包含两种互斥的情况：（甲击中 2 次且乙击中 0 次）或（甲击中 3 次且乙击中 1 次）。分别计算这两种情况的独立性乘积，最后相加。

✅【答案】

Success

(1) $\xi$ 的概率分布为 $P(\xi =0)=\frac{1}{8}$，$P(\xi =1)=\frac{3}{8}$，$P(\xi =2)=\frac{3}{8}$，$P(\xi =3)=\frac{1}{8}$，$E\xi =\frac{3}{2}$； (2) $\frac{20}{27}$； (3) $\frac{7}{72}$.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求 $\xi$ 的概率分布及数学期望 $E\xi$

由题意可知，甲的 3 次射击相互独立，每次击中的概率均为 $\frac{1}{2}$。 因此，随机变量 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(3,\frac{1}{2}\right)$，其可能取的值为 0, 1, 2, 3。

根据二项分布概率公式 $P(\xi =k)={\mathrm{C}}_3^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{3-k}={\mathrm{C}}_3^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$：

• $P(\xi =0)={\mathrm{C}}_3^0{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$
• $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$
• $P(\xi =2)={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$
• $P(\xi =3)={\mathrm{C}}_3^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

所以， $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

数学期望为： $E\xi =n\cdot p=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

(2) 求乙至多击中目标 2 次的概率

记乙击中目标的次数为随机变量 $\eta$，则 $\eta \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。 “乙至多击中 2 次”的对立事件为“乙击中 3 次”，即 $\eta =3$。

先求乙 3 次全部击中的概率： $P(\eta =3)={\mathrm{C}}_3^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$

因此，乙至多击中 2 次的概率为： $P(\eta ⩽2)=1-P(\eta =3)=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$

(3) 求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率

设“甲恰好比乙多击中目标 2 次”为事件 $A$。根据甲、乙各自击中次数的取值范围，事件 $A$ 包含以下两种互斥情况：

• 情况一：甲击中 2 次且乙击中 0 次，即 $\xi =2$ 且 $\eta =0$；
• 情况二：甲击中 3 次且乙击中 1 次，即 $\xi =3$ 且 $\eta =1$。

由于甲、乙两人射击相互独立，两变量事件的交集概率等于各自概率的乘积：

• 对于乙的单项概率： $P(\eta =0)={\mathrm{C}}_3^0{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$ $P(\eta =1)={\mathrm{C}}_3^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^1{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2=3\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{9}=\frac{2}{9}=\frac{6}{27}$

计算事件 $A$ 的总概率： $P(A)=P(\xi =2)\cdot P(\eta =0)+P(\xi =3)\cdot P(\eta =1)$ $P(A)=\frac{3}{8}\times \frac{1}{27}+\frac{1}{8}\times \frac{6}{27}=\frac{3+6}{216}=\frac{9}{216}=\frac{1}{24}$

(纠偏说明：原标准代数步骤中， $\frac{9}{216}$ 约分化简精确结果为 $\frac{1}{24}$。)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验（二项分布）模型判定、对立事件概率转化、互斥与独立事件概率复合适。 核心方法：对立事件法、分类讨论法。

避坑指南：

• 切勿漏掉二项分布中的组合数 ${\mathrm{C}}_n^k$。在计算乙击中 1 次的概率时，很多学生容易直接写成 $\frac{2}{3}\times (\frac{1}{3}{)}^2$，从而漏掉了组合系数 ${\mathrm{C}}_3^1=3$，导致后续概率组合产生严重偏差。
• 理清第三问的逻辑匹配，防止漏项。由于甲、乙最多射击 3 次，甲比乙多 2 次只有（2对0）和（3对1）两种情形。切勿将其误当作常规相减去套用连续型分布。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变试验次数或命中概率，重新列分布列并求期望，体会独立重复试验的模型识别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)