本题导读
本题考查导数正负与单调性的对应关系、闭区间最值定理。核心在于导数分析法。
📌【题干】
Question
（2005年北京卷(理)） 15. 已知函数 .
(1) 求
(2) 若 在区间 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（单调减区间）：求出 的导函数 。令 ，解关于 的一元二次不等式，所得解集即为单调减区间。
- 第二问（闭区间最值）：
- 结合第一问求出的导数零点，分析 在 上的单调性变化。
- 确定极值点与端点，计算 , 以及极值点处的代数式。
- 找出最大值代数式并令其等于 20，求出常数 。
- 将 回代，对比剩余端点与极小值的大小，确定在该区间上的最小值。
✅【答案】
Success
(1) 的单调减区间为 和 ；
(2) 在区间 上的最小值为 。
✍【详细解析】
Abstract
解：
(1) 求 的单调减区间
对原函数 求导：
令 ，即： 两边同除以 ，不等号改变方向： 因式分解得： 解得：
所以，函数 的单调减区间为 和 。
(2) 求 在区间 上的最小值
令 ，由 得到驻点：
其中驻点 落在给定闭区间 内。根据第一问的单调性结论， 在 上的单调性变化如下：
- 当 时， ， 单调递减；
- 当 时， ， 单调递增。
由此可知：
- 极小值点为 ；
- 最大值必在区间端点 或 处取得。
计算两个端点的函数值以作比较：
显然，对任意实数 ，恒有 。 因此， 在 上的最大值为 。
已知最大值为 20：
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以该闭区间上的最小值必在极小值点 处取得：
将 代入上式：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：导数正负与单调性的对应关系、闭区间最值定理（端点与极值点对比）。 核心方法：导数分析法。
避坑指南：
- 单调区间切勿用并集符号“”连接。在书写第一问答案时，应当用“和”或“，”隔开。因为在整个 集合上，函数并不满足单调递减的代数定义。
- 最值判定必须进行端点定量数值对比。第二问求最大值时，不能主观臆断其中某一个端点是最大值，必须通过代数式显式算出 与 的具体表达，通过大小比较确定 为最大值。
📖【试题探源与推广】
Tip
变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。
🔗【关联脉络】
Multi column