2005-北京卷理-13 填-排列组合与乘法原理

本题导读

本题考查排列组合在函数解析式构造中的应用、二次函数的定义域与特殊项限制，以及偶函数的代数特征。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 13. 从 $-1,0,1,2$ 这四个数中选三个不同的数作为函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的系数，可组成不同的二次函数共有$\underline{}$个，其中不同的偶函数共有$\underline{}$个. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算不同的二次函数总数：

• 依据二次函数的定义，最高次项系数 $a$ 绝对不能为 0。因此在 $-1,0,1,2$ 中， $a$ 只能从 $-1,1,2$ 这 3 个非零数字中任选 1 个。
• $a$ 选定后，剩余的 3 个数字（包含 0）中任取 2 个分别赋予给 $b$ 和 $c$，这是一个典型的排列问题（即 ${\mathrm{A}}_3^2$）。
• 依据乘法原理将两步的种数相乘得到总数。

2. 计算不同的偶函数个数：

• 依据偶函数的定义，解析式必须满足 $f(-x)=f(x)$。对于二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，其为偶函数的充要条件是一次项系数 $b=0$。
• 固定 $b=0$ 后， 0 已经被消耗。此时二次项系数 $a$ 和常数项 $c$ 只能从剩下的 $-1,1,2$ 这 3 个非零数字中进行互不相同的排列选位。

✅【答案】

Success

18；6

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算不同的二次函数总数 要组成二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，系数 $a,b,c$ 必须互不相同，且满足 $a\ne 0$。
• 安排系数 $a$：从非零数字 $-1,1,2$ 中选一个，共有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种方法；
• 安排系数 $b$ 和 $c$：选定 $a$ 后，集合中还剩下 3 个数字（其中包含数字 0）。由于 $b$ 和 $c$ 可以为 0，且两者的位置不同代表不同的函数，故从剩下的 3 个数字中选 2 个进行排列，共有 ${\mathrm{A}}_3^2=3\times 2=6$ 种方法。

根据分步乘法计数原理，可组成的二次函数总数为： $N_{\text{总}}=3\times 6=18\text{ 个}$

• 第二步：计算不同的偶函数个数 若二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 为偶函数，则必须满足对定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$： $a(-x{)}^2+b(-x)+c=a{x}^2+bx+c⟹a{x}^2-bx+c=a{x}^2+bx+c$ 要使该恒等式对任意 $x$ 恒成立，必须满足： $b=0$
• 固定系数 $b$： $b$ 必须选择数字 0，只有 1 种方法；
• 安排系数 $a$ 和 $c$：此时 0 已被使用，由于要求三个数字互不相同， $a$ 和 $c$ 只能从剩下的三个非零数字 $-1,1,2$ 中任意挑选 2 个进行排列。因为 $-1,1,2$ 均不为 0，所以选出的 $a$ 必然自动满足二次函数 $a\ne 0$ 的大前提。 其排列种数为： ${\mathrm{A}}_3^2=3\times 2=6\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，可组成的偶函数总数为： $N_{\text{偶}}=1\times 6=6\text{ 个}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合在函数解析式构造中的应用、二次函数的定义域与特殊项限制、偶函数的代数特征。 核心方法：特殊优先（优先排 $a$ 与 $b$ ）的特殊位置分析法。

避坑指南：

• 切勿漏掉二次函数 $a\ne 0$ 的隐含限制。如果在求第一空时盲目地从 4 个数里选 3 个全排列算成 ${\mathrm{A}}_4^3=24$，就包含了 $a=0$ 的非法情况（此时函数降阶为一次函数 $bx+c$ ），导致结果偏大。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变元素的限制条件（相邻、不相邻、定序、分组），体会分类讨论与分步计数的配合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)