2005-北京卷理-12 填-对数函数的运算性质

本题导读

本题考查对数函数的代数运算规律、割线斜率定义，以及函数图象凹凸性的中点判定法。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 13. 对于函数 $f(x)$ 定义域中任意的 $x_1,x_2$ ($x_1\ne x_2$)，有如下结论： ① $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$； ② $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$； ③ $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$； ④ $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$. 当 $f(x)=\lg x$ 时，上述结论中正确结论的序号是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本函数模型对应：

• ① $f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$ 是指数函数（如 $a^x$）的特征方程。
• ② $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ 是对数函数（如 ${\log }_{a}x$）的特征方程。

2. 分析结论 ③（单调性）：该代数式是函数单调递增的充要条件。需判断 $f(x)=\lg x$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上是否单调递增。
3. 分析结论 ④（凹凸性）：该不等式是下凸（凹）函数的数学定义（即琴生不等式的一种特殊形式）。需要结合 $f(x)=\lg x$ 的图象弯曲方向（上凸）来判定不等号的方向。

✅【答案】

Success

正确的结论序号是 ②， ③

✍【详细解析】

Abstract

解： 已知函数为 $f(x)=\lg x$，其定义域为 $(0,+\infty )$。依次对 4 个结论进行代数验证：

• 验证结论 ①：错误 将 $f(x)=\lg x$ 代入等式左边与右边： $\text{左边}=\lg (x_1+x_2)$ $\text{右边}=\lg x_1\cdot \lg x_2$ 显然 $\lg (x_1+x_2)\ne \lg x_1\cdot \lg x_2$，故 ① 错误。

• 验证结论 ②：正确 根据对数函数的运算性质“积的对数等于对数的和”，有： $\text{左边}=\lg (x_1\cdot x_2)=\lg x_1+\lg x_2=\text{右边}$ 故 ② 正确。

• 验证结论 ③：正确 代数式 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$ 意味着分子与分母同号。当 $x_1>x_2$ 时必有 $f(x_1)>f(x_2)$，这是函数在定义域内单调递增的代数定义。 因为 $f(x)=\lg x$ 的底数为 $10>1$，所以它在 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递增函数。 因此，结论 ③ 恒成立。

• 验证结论 ④：错误 不等式 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 在几何上表示：函数图象上中点处的纵坐标，小于两端点连线中点处的纵坐标，即函数为下凸函数。 而对数函数 $f(x)=\lg x$ 的基准图象是上凸（下忧）函数。 根据对数函数的上凸性（或利用算术平均数与几何平均数不等式 $\frac{x_1+x_2}{2}>\sqrt{x_1{x}_2}$）： $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\lg \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\lg \sqrt{x_1{x}_2}=\frac{\lg x_1+\lg x_2}{2}=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 即对任意不相等的正数 $x_1,x_2$，恒有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。 故 ④ 的不等号方向错误。

综上所述，正确的结论序号是 ②， ③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的代数运算规律、单调性的割线斜率定义、函数图象凹凸性的中点判定法（琴生不等式）。 核心方法：基本初等函数图象性质分析法。

避坑指南：

• 切勿混淆两类中点不等式（④ 选项）的代数含义。
  • $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 对应下凸函数（如 $y=x^2$、 $y=a^x$ ），图象在弦的下方。
  • $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 对应上凸函数（如 $y=\lg x$、 $y=\sqrt{x}$ ），图象在弦的上方。 记住对数函数开口向下弯曲（上凸），因此中间点函数值更大，可直接判定 ④ 错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)