2005-北京卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式通项公式的精确运用，以及指数幂的代数运算法则。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 11. ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中的常数项是$\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项：根据二项式定理，写出 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式的第 $r+1$ 项通项公式 $T_{r+1}$。
2. 分离变量与常数：将通项公式中的系数、符号项与自变量 $x$ 的幂次分离开，合并 $x$ 的指数部分。
3. 建立方程求解 $r$：常数项即指自变量 $x$ 的指数为 0 的项。令 $x$ 的指数代数式等于 0，解出 $r$ 的非负整数解，回代计算出具体的数值。

✅【答案】

Success

$-20$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：写出二项式展开式的通项公式 把原式写成标准和的形式： ${\left(x+\left(-x^{-1}\right)\right)}^6$。 根据二项式定理，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r(0⩽r⩽6,r\in \mathbf{N})$

• 第二步：对通项进行代数化简与指数合并 将底数中的负号与分式指数分离： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$ 合并相同底数 $x$ 的指数项： $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot {\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{6-2r}$

• 第三步：令指数为 0 求解常数项 要求展开式中的常数项，即要求满足自变量 $x$ 的幂次为 0： $6-2r=0⟹2r=6⟹r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式中，计算该项的数值： $\text{常数项}=T_4=(-1{)}^3\cdot {\mathrm{C}}_6^3=-1\times \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=-20$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的精确运用、指数幂的代数运算法则。 核心方法：通项指数归零法。

避坑指南：

• 切勿漏掉负号因子 $(-1{)}^r$。很多同学在写通项时容易把 ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 错写成 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^r$，导致最后算出的答案为正数 $20$。必须严格将负号提取为单独的系数因子系数参与项的最终正负判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变展开式中的指数或求常数项、指定项系数，检验通项公式 $T_{r+1}$ 的代入与化简。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

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