2005-北京卷理-10 填-正切的二倍角公式

本题导读

本题考查正切倍角公式与两角和差公式的代数化简，以及公式直接代换法。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 10. 已知 $\tan \frac{\alpha }{2}=2$，则 $\tan \alpha$ 的值为$\underline{}$， $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\tan \alpha$：由于 $\alpha =2\times \frac{\alpha }{2}$，直接运用正切的二倍角公式 $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$，将 $\tan \frac{\alpha }{2}=2$ 代入即可。
2. 求 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$：利用两角和的正切公式 $\tan (\theta +\varphi )=\frac{\tan \theta +\tan \varphi }{1-\tan \theta \tan \varphi }$，结合已求出的 $\tan \alpha$ 和已知 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 进行计算。

✅【答案】

Success

$-\frac{4}{3}，-\frac{1}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求 $\tan \alpha$ 的值 利用正切的二倍角公式： $\tan \alpha =\tan \left(2\cdot \frac{\alpha }{2}\right)=\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$ 将 $\tan \frac{\alpha }{2}=2$ 代入上式中： $\tan \alpha =\frac{2\times 2}{1-2^2}=\frac{4}{1-4}=-\frac{4}{3}$

• 第二步：求 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值 应用两角和的正切公式，且已知 $\tan \frac{\pi }{4}=1$： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$ 将第一步求得的 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$ 代入运算： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-\frac{4}{3}+1}{1-\left(-\frac{4}{3}\right)}=\frac{-\frac{1}{3}}{1+\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=-\frac{1}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切倍角公式与两角和差公式的代数化简。 核心方法：公式直接代换法。

避坑指南：

• 注意负号的处理。在计算 $\tan \alpha$ 时分母为 $1-4=-3$，整体符号为负。在进行第二步代入 $1-\tan \alpha$ 时，分母处的减负号变为加号（即 $1-(-\frac{4}{3})=1+\frac{4}{3}$ ），切勿因粗心发生符号混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)