2005-北京卷理-09 填-复数的代数除法运算

本题导读

本题考查复数四则运算、共轭复数的代数应用，以及纯虚数的边界限定条件。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 9. 若 $z_1=a+2\mathrm{i}$， $z_2=3-4\mathrm{i}$，且 $\frac{z_1}{z_2}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 执行复数除法：将 $z_1$ 与 $z_2$ 代入分式 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+2\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}$。
2. 分母实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数 $3+4\mathrm{i}$，展开并整理成标准形式 $A+B\mathrm{i}$ （ $A,B\in \mathbf{R}$ ）。
3. 根据纯虚数条件解方程：依据纯虚数的定义，复数的实部必须为 0 且虚部不为 0。令实部为 0 解出实数 $a$ 的值，并验证虚部是否满足非零条件。

✅【答案】

Success

实数 $a$ 的值为 $\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：进行分母实数化计算 将 $z_1=a+2\mathrm{i}$ 与 $z_2=3-4\mathrm{i}$ 代入商式中，分子、分母同乘以分母的共轭复数 $3+4\mathrm{i}$： $\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+2\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}=\frac{(a+2\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})}{(3-4\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})}$

分别展开分子与分母：

• 分母： $3^2-(4\mathrm{i}{)}^2=9-16(-1)=9+16=25$
• 分子： $3a+4a\mathrm{i}+6\mathrm{i}+8{\mathrm{i}}^2=3a+(4a+6)\mathrm{i}-8=(3a-8)+(4a+6)\mathrm{i}$

代回分式并分离实部与虚部： $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3a-8)+(4a+6)\mathrm{i}}{25}=\frac{3a-8}{25}+\frac{4a+6}{25}\mathrm{i}$

• 第二步：利用纯虚数的性质列出方程组 根据纯虚数的定义，一个复数是纯虚数的充要条件是实部等于 0 且虚部不等于 0： $\{\begin{array}{l}\frac{3a-8}{25}=0\\ \frac{4a+6}{25}\ne 0\end{array}$

由第一式 $3a-8=0$ 解得： $a=\frac{8}{3}$

代入第二式进行检验： $\text{虚部}=\frac{4\times \frac{8}{3}+6}{25}=\frac{\frac{32}{3}+\frac{18}{3}}{25}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}\ne 0$ 满足虚部非零的约束。

综上所述，实数 $a$ 的值为 $\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数四则运算（除法）、共轭复数的代数应用、纯虚数的边界限定条件。 核心方法：共轭消元实数化法。

避坑指南：

• 切勿漏掉“虚部不为 0”这一隐含限制。虽然本题解出来的 $a=\frac{8}{3}$ 自动使虚部不为 0，但在很多高难度的二次压轴题中，实部为 0 算出的某些解可能会使虚部也同时变为 0（此时复数变为实数 0）。务必养成先算实部为 0，再回代验证虚部非零的严谨数理习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将分母实数化后的结果进一步求其共轭复数、模或辐角，检验对复数四则运算与几何意义的掌握。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

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