2005-北京卷理-06 单-正四面体的几何性质

本题导读

本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的转化定理，以及正四面体的对称性。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 6. 在正四面体 $P-ABC$ 中， $D,E,F$ 分别是 $AB,BC,CA$ 的中点，下面四个结论中不成立的是 ()

A. $BC\parallel$ 平面 $PDF$　　　　　　　　　　B. $DF\perp$ 平面 $PAE$

C. 平面 $PDF\perp$ 平面 $ABC$　　　　　　D. 平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证 A 选项：利用三角形中位线定理证明 $DF\parallel BC$，再由线面平行的判定定理判断 $BC\parallel$ 平面 $PDF$。
2. 验证 B、D 选项：利用正三角形三线合一性质，证明 $AE\perp BC,PE\perp BC⟹BC\perp$ 平面 $PAE$。再利用 $DF\parallel BC$ 可得 $DF\perp$ 平面 $PAE$（B正确），且由面面垂直判定定理可得平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$（D正确）。
3. 验证 C 选项：由排除法可知 C 选项不成立。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 验证 (A) 选项：成立 在底面正 $△ABC$ 中，因为 $D,F$ 分别是 $AB,CA$ 的中点，根据三角形中位线定理得： $DF\parallel BC$ 又因为 $DF\subset$ 平面 $PDF$，且 $BC\not\subset$ 平面 $PDF$，根据线面平行的判定定理： $BC\parallel \text{平面 }PDF$ 故 (A) 结论成立。

• 验证 (B) 与 (D) 选项：成立 在正四面体 $P-ABC$ 中，底面 $ABC$ 与侧面 $PBC$ 均为全等的正三角形，且 $E$ 是 $BC$ 的中点。 根据正三角形三线合一的几何性质，有： $AE\perp BC\text{且}PE\perp BC$ 因为 $AE\cap PE=E$，且 $AE,PE\subset$ 平面 $PAE$，根据线面垂直的判定定理： $BC\perp \text{平面 }PAE$

• 对于 (B)：由第一步已知 $DF\parallel BC$，根据两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面的性质，可得 $DF\perp$ 平面 $PAE$。结论成立。

• 对于 (D)：因为 $BC\perp$ 平面 $PAE$，且 $BC\subset$ 平面 $ABC$，根据面面垂直的判定定理（若一个平面包含另一个平面的垂线，则两平面垂直），可得平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$。结论成立。

• 验证 (C) 选项：不成立 由于正四面体各个面性质完全对称，平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$ 已成立，且 $AE$ 是平面 $PAE$ 与底面的交线，高线投影落在 $AE$ 上。而平面 $PDF$ 与平面 $PAE$ 相互垂直，其与底面的二面角并不为 $90^{\circ }$。 由排除法可知， (C) 结论不成立。

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间线面平行、线面垂直、面面垂直的转化定理，正四面体的对称性。 核心方法：线线平行 $\to$ 线面平行，线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直的链式推导法。

避坑指南：

• 切勿混淆中位线面与轴对角面的垂直特征。在正四面体中，过顶点的中线截面（如平面 $PAE$ ）垂直于其对应底边及底面；而由底面中位线与顶点构成的面（如平面 $PDF$ ）与底面是倾斜的，其二面角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，并不垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将几何体的边长或位置关系改变，用几何法或建系法重新求解空间角、距离与体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)