2005-北京卷理-04 单-圆的一般方程与标准方程转化

本题导读

本题考查圆的一般方程、圆的切线几何性质，以及扇形弧长公式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 4. 从原点向圆 $x^2+y^2-12y+27=0$ 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ()

A. $\pi$　　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　　C. $4\pi$　　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求圆心坐标与半径：通过配方法将圆的一般方程化为标准方程，直接得出圆心 $C$ 的坐标以及半径 $R$ 的大小。
2. 构建几何直角三角形：连接原点 $O$ 与圆心 $C$，连接圆心 $C$ 与切点 $A$（或 $B$）。利用切线性质， $△OAC$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形。
3. 计算切线夹角与圆心角：在直角 $△OAC$ 中，已知斜边 $OC$ 和直角边 $AC$（半径 $R$），利用三角函数求出锐角 $\angle AOC$，进而求出圆心角 $\angle ACB$。
4. 计算劣弧长：利用弧长公式 $l=\alpha R$（ $\alpha$ 为弧所对的圆心角的弧度数），求出结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化圆为标准方程 已知圆的方程为： $x^2+y^2-12y+27=0$ 对 $y$ 项进行配方： $x^2+(y^2-12y+36)=36-27$ $x^2+(y-6{)}^2=9$ 由此可得： 圆心坐标为 $C(0,6)$，半径 $R=\sqrt{9}=3$。

• 第二步：计算关键几何线段长度 原点为 $O(0,0)$，圆心为 $C(0,6)$。 圆心 $C$ 到原点 $O$ 的距离为： $|OC|=\sqrt{0^2+6^2}=6$

• 第三步：求解切线夹角所对应的圆心角 设从原点 $O$ 向该圆引的两条切线切点分别为 $A$ 和 $B$。连接 $OC,CA,CB$。 根据圆的切线垂直于过切点的半径，有 $CA\perp OA$，即 $△OAC$ 为直角三角形。 在直角 $△OAC$ 中： $\sin \angle AOC=\frac{|CA|}{|OC|}=\frac{R}{|OC|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 因为 $\angle AOC$ 是直角三角形的锐角，所以： $\angle AOC=30^{\circ }$ 根据对称性， $\angle BOC=\angle AOC=30^{\circ }$，因此两条切线的夹角为 $\angle AOB=60^{\circ }$。

在四边形 $OACB$ 中， $\angle OAC=\angle OBC=90^{\circ }$，内角和为 $360^{\circ }$。 所以，劣弧 $AB$ 所对的圆心角 $\angle ACB$ 为： $\angle ACB=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ 转化为弧度制： $\alpha =120^{\circ }\times \frac{\pi }{180^{\circ }}=\frac{2\pi }{3}$

• 第四步：计算劣弧长 根据圆的弧长计算公式 $l=\alpha R$： $l=\frac{2\pi }{3}\times 3=2\pi$

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程转换、圆的切线几何性质（ $R,d$ 以及切线长组成的直角三角形）、扇形弧长公式。 核心方法：几何图象法（避免写出切线方程的代数繁琐运算）。

避坑指南：

• 切勿盲目去设切线方程 $y=kx$ 用点到直线距离求解。虽然可以求出 $k=\pm \sqrt{3}$，但后续仍需计算切点或向量夹角，运算量极大。通过连接圆心和原点构造包含含 $30^{\circ }$ 角的直角三角形，可以直接定性秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)