2005-北京卷理-01 单-集合的包含关系与子集

本题导读

本题考查一元二次不等式的基本解集形态，以及真子集几何意义的判定。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)）

1. 设全集 $U=\mathbf{R}$，集合 $M=\{x\mid x>1\}$， $P=\{x\mid x^2>1\}$，则下列关系中正确的是 ()

A. $M=P$　　　　　B. $P⫋M$　　　　　C. $M⫋P$　　　　　D. ${\complement }_{U}M\cap P=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $P$：解一元二次不等式 $x^2>1$，将其转化为区间的形式。
2. 比较集合 $M$ 与 $P$ 的范围：利用数轴直观对比集合 $M$ 和化简后的集合 $P$，判定它们之间的包含关系。
3. 验证各选项：

• 检查是否相等（A）或存在真包含关系（B、C）。
• 求出 ${\complement }_{U}M$，并计算其与 $P$ 的交集以验证（D）。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简集合 $P$ 已知集合 $P=\{x\mid x^2>1\}$。 解不等式 $x^2>1⟺x^2-1>0⟺(x-1)(x+1)>0$。 根据“大于取两边”的原则，解得： $x>1\text{或}x<-1$ 即集合 $P=\{x\mid x>1\text{ 或 }x<-1\}$。

• 第二步：对比集合 $M$ 与 $P$ 的包含关系 已知集合 $M=\{x\mid x>1\}$。 对比可知，集合 $M$ 中的任意一个元素 $x$（满足 $x>1$）都属于集合 $P$；而集合 $P$ 中存在元素（例如 $x=-2$）不属于集合 $M$。 根据真子集的定义， $M$ 是 $P$ 的真子集： $M⫋P$ 由此可知，(C) 选项正确，(A) 和 (B) 选项错误。

• 第三步：验证 (D) 选项 全集 $U=\mathbf{R}$， 集合 $M=\{x\mid x>1\}$，则其补集为： ${\complement }_{U}M=\{x\mid x⩽1\}$ 计算补集与集合 $P$ 的交集： ${\complement }_{U}M\cap P=\{x\mid x⩽1\}\cap \{x\mid x>1\text{ 或 }x<-1\}=\{x\mid x<-1\}$ 因为交集不为空集（ ${\complement }_{U}M\cap P\ne \varnothing$ ），所以 (D) 选项错误。

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式的基本解集形态、真子集几何意义的判定。 核心方法：区间元素包含法。

避坑指南：

• 切勿在对 $x^2>1$ 开方时漏掉负数区间。部分同学容易想当然地认为 $x^2>1⟹x>1$，从而误以为 $M=P$ 而错选 A。必须牢记：二次不等式开方取两边，包含正负两个对立区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将集合的表示形式改为区间或含参数形式（如 $B=\{x\mid x>a\}$），讨论 $A\cap B$ 随 $a$ 变化的情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)