2005-北京春文-14 填-二次不等式恒成立

本题导读

本题考查二次不等式与恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 若关于 $x$ 的不等式 $x^2-ax-a>0$ 的解集为 $(-\infty ,+\infty )$，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二次项系数 $1>0$，开口向上。
2. 恒正 $⟺\Delta =a^2+4a<0$。
3. 解得 $-4<a<0$。

✅【答案】

Success

$(-4,0)$

✍【详细解析】

Abstract

二次函数 $x^2-ax-a$ 的开口向上．要使它对任意实数 $x$ 都严格大于零，必须且只需其判别式小于零，即 $\Delta =(-a{)}^2-4\times 1\times (-a)=a^2+4a<0$．解得 $-4<a<0$，故实数 $a$ 的取值范围为 $(-4,0)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式恒成立

核心方法：恒正等价判别式小于零

避坑指南：$x^2-ax-a>0$ 恒成立 $⟺\Delta =a^2+4a<0$，得 $-4<a<0$；二次项系数为正才用判别式，别忘前提

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次不等式恒成立（人教 A 版必修五）

结论推广：$a{x}^2+bx+c>0$ 恒成立 $⟺a>0$ 且 $\Delta <0$

方法推广：恒成立与有解方向相反：恒成立用判别式，有解用最值，别混用

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-14 填-线性规划
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数