2005-北京春文-13 填-系数选取计数

本题导读

本题考查排列与组合及受限计数问题。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 从 $0$，$1$，$2$，$3$ 这四个数中选三个不同的数作为函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的系数，可组成不同的一次函数共有$\underline{}$个，不同的二次函数共有$\underline{}$个．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 一次函数要求 $a=0$：$b,c$ 从 $1,2,3$ 中有序选两个，$3\times 2=6$ 个。
2. 二次函数要求 $a\ne 0$：$a$ 从 $1,2,3$ 选，$3$ 种；$b,c$ 从剩下三个数有序选，$3\times 2$ 种。
3. 共 $3\times 3\times 2=18$ 个。

✅【答案】

Success

$6，18$

✍【详细解析】

Abstract

一次函数要求 $a=0$，再从 $1,2,3$ 中选两个不同的数分别作为 $b,c$，有 $3\times 2=6$ 个． 二次函数要求 $a\ne 0$．先从 $1,2,3$ 中选 $a$，有 $3$ 种；再从剩下的三个数中有序选取 $b,c$，有 $3\times 2$ 种．因此不同的二次函数有 $3\times 3\times 2=18$ 个．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：系数选取计数

核心方法：先定受限系数 a，再有序选其余

避坑指南：一次函数 $a=0$，$b,c$ 从 $1,2,3$ 有序选 $3\times 2=6$ 个；二次函数 $a$ 从 $1,2,3$ 选 $3$ 种，$b,c$ 再有序选 $3\times 2$，共 $18$ 个；$a=0$ 与 $a\ne 0$ 别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合受限计数（人教 A 版选择性必修三）

结论推广：系数选取：先排受限系数（$a=0$ 或 $a\ne 0$），其余位有序选取

方法推广：“选数字当系数”是有序选取，用排列而非组合，逐位分步计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数