2005-北京春文-11 填-半角和二倍角求值

本题导读

本题考查半角公式与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 已知 $\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，那么 $\sin \theta$ 的值为$\underline{}$，$\cos 2\theta$ 的值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边平方：$1+\sin \theta =\frac{4}{3}$，得 $\sin \theta =\frac{1}{3}$。
2. $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{3}，\frac{7}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

将已知等式两边平方，得 ${\sin }^2\frac{\theta }{2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\frac{4}{3}$，即 $1+\sin \theta =\frac{4}{3}$，所以 $\sin \theta =\frac{1}{3}$． 再由二倍角公式，$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-2\times \frac{1}{9}=\frac{7}{9}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角和二倍角求值

核心方法：平方去根号转 sinθ，二倍角收口

避坑指南：平方得 $1+\sin \theta =\frac{4}{3}$，$\sin \theta =\frac{1}{3}$；$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =\frac{7}{9}$；别用 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ 的系数 $2$ 漏乘

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式与二倍角（人教 A 版必修二）

结论推广：${\left(\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}\right)}^2=1+\sin \theta$；$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$

方法推广：平方式展开出现 $2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ 即 $\sin \theta$，是半角条件题的通用起手

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-11 单-三角形内角和定理与诱导公式
• 2018-全国卷I文-11 单-三角函数定义