2005-北京春文-08 单-奇偶分类恒成立求参

本题导读

本题考查含参数不等式与恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 若不等式 $(-1{)}^{n}a<2+\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 对于任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $\left[-2,\frac{3}{2}\right)$　　　B. $\left(-2,\frac{3}{2}\right)$　　　C. $\left[-3,\frac{3}{2}\right)$　　　D. $\left(-3,\frac{3}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶数 $n=2m$：$a<2-\frac{1}{2m}$，最紧在 $m=1$：$a<\frac{3}{2}$。
2. 奇数 $n=2m-1$：$a>-2-\frac{1}{2m-1}$；若 $a\ge -2$ 则恒成立；若 $a<-2$，$m$ 充分大时不等式失效，故等价于 $a\ge -2$。
3. 综上 $-2\le a<\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $n=2m$ 为偶数时，不等式化为 $a<2-\frac{1}{2m}$．其中最严格的条件由 $m=1$ 给出，即 $a<\frac{3}{2}$；满足此条件时所有偶数情形都成立． 当 $n=2m-1$ 为奇数时，不等式化为 $a>-2-\frac{1}{2m-1}$．若 $a\ge -2$，则对任意正整数 $m$ 都成立；若 $a<-2$，由于 $-2-\frac{1}{2m-1}$ 可以任意接近 $-2$，取充分大的 $m$ 即可使该不等式不成立．因此奇数情形等价于 $a\ge -2$． 综上，$a$ 的取值范围为 $\left[-2,\frac{3}{2}\right)$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶分类恒成立求参

核心方法：按 n 的奇偶分两类，取最紧约束

避坑指南：偶数 $n$ 得 $a<2-\frac{1}{n}$ 最紧 $a<\frac{3}{2}$；奇数 $n$ 得 $a\ge -2$（更负时不成立）；两类取交集 $[-2,\frac{3}{2})$，别漏端点开闭

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参数不等式恒成立（人教 A 版必修五）

结论推广：$(-1{)}^n$ 型按奇偶分类，每类取”最紧”约束再取交集

方法推广：含 $(-1{)}^n$、$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 的恒成立必分奇偶两类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-08 单-二项分布
• 2017-全国卷I理-08 单-程序框图