2005-北京春文-06 单-直线截圆弦长

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系与弦长。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 直线 $x+\sqrt{3}y-2=0$ 被圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 所截得的线段的长为()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $C(1,0)$，半径 $r=1$。
2. 圆心距 $d=\frac{|1+\sqrt{3}\cdot 0-2|}{\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2}$。
3. 弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆心为 $C(1,0)$，半径为 $1$．圆心到直线的距离为 $d=\frac{|1+\sqrt{3}\cdot 0-2|}{\sqrt{1+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{1}{2}$． 因此直线截圆所得弦长为 $2\sqrt{1^2-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线截圆弦长

核心方法：圆心距公式加半弦长勾股收口

避坑指南：圆心 $(1,0)$ 到直线距离 $\frac{1}{2}$，弦长 $2\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$；圆心到直线距离公式代入别漏绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系（人教 A 版必修二）

结论推广：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$，$d$ 为圆心到直线距离

方法推广：圆弦长问题首选几何法（半径、弦心距、半弦长勾股），不必解交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-06 单-直线方程
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线