2005-北京春文-05 单-椭圆方程充要条件

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与充要条件。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 设 $abc\ne 0$，"$ac>0$"是”曲线 $a{x}^2+b{y}^2=c$ 为椭圆”的()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 曲线为椭圆 $\Rightarrow a,b,c$ 同号 $\Rightarrow ac>0$，必要性成立。
2. $ac>0$ 推不出椭圆：取 $a=c=1$，$b=-1$ 得 $x^2-y^2=1$ 是双曲线。
3. 故为必要非充分条件。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

若曲线 $a{x}^2+b{y}^2=c$ 是椭圆，则 $a$、$b$、$c$ 必须同号，特别有 $ac>0$．反之，$ac>0$ 不能保证是椭圆，例如取 $a=c=1$，$b=-1$，曲线为 $x^2-y^2=1$，它是双曲线而不是椭圆． 因此 $ac>0$ 是必要非充分条件，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程充要条件

核心方法：椭圆系数同号条件验证充要

避坑指南：椭圆需 $a,b,c$ 同号且 $a\ne b$，必要；$ac>0$ 但 $a,b$ 异号时是双曲线（如 $x^2-y^2=1$），不充分；别忽略 $a=b$ 的圆情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线与充要条件综合

结论推广：$a{x}^2+b{y}^2=c$ 为椭圆 $⟺a,b,c$ 同号且 $a\ne b$（含 $a,b,c$ 非零）

方法推广：曲线形状判定用系数符号，充要性用”推出方向”逐侧验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件
• 2014-北京卷文-05 单-充要条件