2005-北京卷文-15 解-半角正切求值

本题导读

本题考查半角公式、同角三角函数关系与两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 已知 $\tan \frac{\alpha }{2}=2$，求：

(1) $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值；

(2) $\frac{6\sin \alpha +\cos \alpha }{3\sin \alpha -2\cos \alpha }$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 万能代换：$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=-\frac{3}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{4}{3}$。
2. (1) 用和角正切公式代入。
3. (2) 齐次式分子分母同除以 $\cos \alpha$，直接代 $\tan \alpha$。

✅【答案】

Success

（1）$-\frac{1}{7}$；（2）$\frac{7}{6}$．

✍【详细解析】

Abstract

由半角正切公式，$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=-\frac{3}{5}$，所以 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{4}{3}$． (1) $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$． (2) $\frac{6\sin \alpha +\cos \alpha }{3\sin \alpha -2\cos \alpha }=\frac{6\tan \alpha +1}{3\tan \alpha -2}=\frac{6\times \left(-\frac{4}{3}\right)+1}{3\times \left(-\frac{4}{3}\right)-2}=\frac{-7}{-6}=\frac{7}{6}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角正切求值

核心方法：万能代换转正余弦，齐次式代入

避坑指南：$\tan \frac{\alpha }{2}=2$ 得 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$、$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{7}$，齐次式值为 $\frac{7}{6}$；$\alpha$ 在第二象限，$\cos \alpha$ 取负别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式与万能代换（人教 A 版必修二）

结论推广：已知 $\tan \frac{\alpha }{2}=t$，$\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$

方法推广：万能代换把三角式化为 $t$ 的有理式，齐次式求值可直接代 $\tan \alpha$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-15 填-两角和差
• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式